Часть 1. Основы статистической динамики судовых конструкций Глава 1. Математические модели и характеристики случайных функций. Стационарные процессы

1.1. Основные понятия и определения

Случайной функцией X() называется функция, значение которой при любом фиксированном значении аргумента =₀ является случайной величиной X(₀). Таким образом, случайная функция в результате опыта может принять тот или иной вид и неизвестно заранее, какой именно.

Аргументом случайной функции может быть, в частности, время t или какие-либо другие величины. Случайные функции времени t обычно называют случайными процессами (СП). Случайная величина X(t₀), в которую обращается СП при t=t₀, называется сечением случайного процесса, соответствующим аргументу t₀.

В результате произведенного опыта случайная функция превращается в обычную неслучайную функцию. Конкретный вид, который принимает случайная функция в результате опыта, называется реализацией случайной функции или выборочной функцией.

Примерами СП являются ординаты морского ветрового волнения в данной точке, компоненты скоростей точек поверхности жидкости при таком волнении, параметры качки судна на нерегулярном волнении, волновые давления на днище судна, волновые моменты в данном сечении корпуса судна, шумы в измерительных системах и т. д. Сравнивая СП со случайными величинами, можно сказать, что последние характеризуют случайные явления как бы «в статике», а первые — «в динамике». Поэтому теория случайных процессов может быть названа «динамикой случайных явлений».

На рис. 1.1 показано несколько реализаций СП X(t).

Рис. 1.1. Реализации случайного процесса X(t).

СП можно рассматривать либо как совокупность реализаций случайных функций X(t), либо как совокупность случайных величин, зависящих от параметра t. При этом для полного статистического описания СП надо знать распределение величины и совместные распределения систем величин для каждого конечного множества значений (первое, второе, третье и т.д. конечномерные распределения вероятностей СП). Эти распределения описываются в общем случае функциями распределения первого, второго, третьего и т.д. порядков:

СП дискретен или непрерывен, если, соответственно, дискретно или непрерывно распределение величин для каждого конечного множества

Так же, как и для случайных величин, для СП вычисляются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание может быть вычислено для каждого сечения СП. Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения СП

m_x(t)=М[Х(t)].

Дисперсией СП Х(t) называется неслучайная функция D_x(t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения СП

D_x(t)=D[Х(t)].

Среднее квадратичное отклонение или стандарт СП выражается через дисперсию следующим образом

.

Однако указанных характеристик недостаточно для описания свойств СП. Можно представить два процесса с одинаковыми m_x(t) и D_x(t), но обладающие весьма различной внутренней структурой. Поэтому в качестве характеристики СП вводится корреляционная функция (КФ), которая представляет собой неслучайную функцию k_x(t, t') двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений аргументов t и t' равна корреляционному моменту (ковариации) соответствующих сечений: X(t) и X(t'), т.е.

. (1.1)

Здесь и - центрированные сечения СП, определяемые следующим образом

.

При равенстве аргументов (при t = t') КФ обращается в дисперсию случайной функции, т.е.

.

Таким образом, отпадает необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции; последняя может характеризоваться математическим ожиданием и корреляционной функцией.

Если, в общем случае, для полного описания СП надо знать конечномерные распределения вероятностей (первое, второе, третье и т.д.), то для описания некоторых процессов достаточно располагать математическим ожиданием и корреляционной функцией. Это положение справедливо, например, для нормального (гауссовского) процесса. Все распределения вероятностей ординат такого процесса нормальны для всех сечений. Каждый гауссовский процесс однозначно определяется своим нормальным распределением вероятностей второго порядка

, (1.2)

где т и  — математическое ожидание и стандарт процесса X.

Вид кривой распределения при нормальном законе показан на рис. 1.2.

Из рисунка видно, что чем больше дисперсия и стандарт случайной величины, тем меньше наибольшая ордината р(х) и тем больше растягивается кривая распределения вдоль оси абсцисс.

Рис. 1.2. Плотности вероятностей р(х) гауссовских случайных величин, соответствующие различным значениям стандарта .

Производя замену переменных , получим плотность нормированного нормального распределения, стандарт которого равен единице (_u = 1):

.

Плотность такого распределения представлена на рис. 1.2 в виде кривой, соответствующей значению  = 1. Табулированные значения этой плотности приводятся в справочниках по математике. Табулируются также значения функции

,

которую называют интегралом вероятностей или функцией Лапласа.

С учетом этого интеграла для вероятности попадания любой нормальной случайной величины X с центром m и дисперсией ² в интервал можно записать

.

Наряду с функцией часто используется так называемая функция ошибок

,

с помощью которой вероятность попадания величины X в интервал записывается так

.

В связи с нечетностью функции ошибок, для определения вероятности попадания случайной величины на участок, симметричный относительно математического ожидания (рис. 1.3), используется выражение

.

Рис. 1.3. К вычислению вероятности попадания случайной величины на заданный участок.

Рис. 1.4. К вычислению вероятности отклонения случайной величины от математического ожидания на один, два и три стандарта.

Используя таблицы функции ошибок, можно оценить вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания более чем на n стандартов  (рис. 1.4):

.

В частности, вероятность превышения случайной величиной значения т + 2 (n=2) составляет 0,02, а значения т + З (n=3) примерно равно 0,0015. Поэтому говорят, что отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону, от ее математического ожидания на величину трех стандартов практически определяет наибольшее значение случайной величины.

Амплитуды случайного узкополосного гауссовского процесса распределены по закону Рэлея. Ему практически подчиняются амплитуды и высоты волн в данном режиме нерегулярного волнения, а также амплитуды вызванных процессов, связанных линейно с волнением (например, амплитуды качки и волновых моментов водоизмещающих судов).

Плотность вероятности случайной величины A, распределенной по закону Рэлея имеет вид

, (1.3)

где параметр  связан с математическим ожиданием m_a случайной величины A зависимостью

.

По смыслу величина а является положительной, т. е. а > 0. Вид кривой распределения Рэлея показан на рис. 1.5. Наибольшая ордината плотности вероятности соответствует а=.

Рис. 1.5. Вид плотности вероятности по закону Рэлея.

Функция распределения для закона Рэлея, т. е. вероятность того, что амплитуда а будет меньше некоторой величины , запишется в виде

.

Соответственно вероятность превышения величины , которая называется обеспеченностью, будет

. (1.4)

Логарифмируя это равенство, можно выразить значение через величину обеспеченности Q:

.

Случайная величина  имеет экспоненциальное (показательное) распределение (рис. 1.6) с параметром >0, если

Рис. 1.6. Вид плотности вероятности при экспоненциальном законе распределения.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 

Если случайная величина A подчиняется закону Рэлея, то ее квадрат подчиняется экспоненциальному закону. В самом деле, используя правило функционального преобразования плотности вероятности случайных величин, связанных функциональной зависимостью , на основании формулы (1.3) можно получить

Из полученной формулы следует, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны

Особый интерес для практического использования при вероятностной оценке внешних сил, действующих на корпус корабля, представляют так называемые стационарные случайные функции.

Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если

1) ее математическое ожидание постоянно (не зависит от аргумента t), т. е.

m_x(t)= m_x=const,

2) ее КФ – функция единственного аргумента , представляющего собой сдвиг временных переменных t и t':

t – t' = ,

.

Последнее означает, что дисперсия стационарной случайной функции, как это следует из зависимости (1.2), также постоянна

,

а КФ не зависит от того, в каком месте по оси t приняты два равноотстоящих сечения.

Примером стационарного случайного процесса является морское волнение в установившемся режиме.

Поскольку КФ обладает свойством симметрии

,

то для стационарного процесса эта функция является четной

.

Часто пользуются нормированной корреляционной функцией

,

где — дисперсия процесса; при =0 .