4.3. Метод преобразования плотности распределения вероятностей

функций случайных величин

При вероятностном анализе решений такой системы, как показано в работах [2, 88, 89], целесообразно выполнять неканоническое разложение входного процесса. При таком разложении уравнение взволнованной поверхности жидкости в подвижной системе координат, связанной с движущимся со скоростью v судном, записывается в виде 36, 47

где R - случайная величина, подчиняющаяся закону Релея с параметром, равным дисперсии нормального процесса (t);  - случайная величина с ПРВ p_, равной отношению спектральной плотности S_ процесса (t) к дисперсии , g - ускорение свободного падения; - курсовой угол движения судна по отношению к направлению распространения волн;- случайная фаза, распределенная равномерно на промежутке 0,2.

Случайные величины R,  и независимы.

При решении задач статистической динамики линейные и нелинейные системы (а также подсистемы и элементы) принято делить на инерционные и безынерционные 12-14, 69. Если амплитуды и другие параметры выходного процесса зависят от частоты входного процесса, то такая система является инерционной. В противном случае систему можно считать безынерционной. Характерным признаком безынерционной системы является совпадение фаз возмущения (входного сигнала) и реакции системы (выходного сигнала), т.е. отсутствие задержки.

Обычно считают, что метод преобразования ПРВ функций случайных величин пригоден для исследования безынерционных систем [12, 69]. Однако представляется достаточно очевидным, что если система обладает инерционными свойствами, но входной случайный процесс реализуется на одной несущей частоте (частота фиксирована, а амплитуда обладает статистической изменчивостью, то использование рассматриваемого метода правомерно. Более того, при использовании специальных приемов, описанных ниже в параграфе 4.5, этот метод может применяться к инерционным системам, возбуждаемым входным процессом со статистически изменчивой частотой.

В данной главе излагается метод функционального преобразования случайных величин в традиционных вариантах, нашедших применение при решении проблемы внешних сил и оценке показателей надежности судовых конструкций [7, 36].

Предположим, что процесс волнения представлен в виде детерминированной функции нескольких случайных параметров в соответствии с формулами (1.10), (1.44), (1.50) или (1.62). Предпочтительным является такое представление, содержащее наименьшее число случайных величин (например, (1.50)). Подставим выбранное выражение для (t) в уравнения колебаний судна и его конструкций вида (4.1). При фиксированных значениях случайных входных величин V_i (для модели (1.50) ) соответствующая нелинейная задача динамики судна (динамики корпусных конструкций) может быть решена числено, т.е. установлена траектория изображающей точки в фазовом пространстве. Совокупность траекторий для множества сочетаний фиксированных значений случайных величин V_i представляет ценную информацию для решения нелинейных задач статической динамики. Такие траектории дают возможность установить функциональную связь между входными случайными величинами V_i и характерными параметрами A_i, определяющими состояние судна и его конструкций (например, их предельную прочность) в определенный момент времени или эволюцию во времени характеристик качества конструкций (например, изменение меры усталостного повреждения, подрастание длины трещины и т.д.). Наиболее часто в задачах строительной механики корабля в качестве таких характерных параметров рассматриваются амплитуды внешних сил, амплитуды упругих колебаний конструкций, амплитуды приведенных напряжений (деформаций) в конструктивных элементах, длины трещин, продолжительность инициирования усталостной трещины или ее роста до критической длины и т.д.