5.2. Метод статистических испытаний

Наиболее простую вычислительную схему анализа вероятностных распределений выходных процессов нелинейных динамических систем имеют алгоритмы, построенные на основе метода статистических испытаний (Монте-Карло). Суть метода состоит в получении решений нелинейных уравнений (4.1), описывающих поведение динамической системы, путем их численного интегрирования по времени. Полученные таким образом данные анализируются с использованием методов математической статистики и, в результате, определяются статистические характеристики выходных процессов.

Расчет по методу Монте-Карло состоит из следующих этапов:

1. Определяется выборка _1n, _2n, ... , _kn, ... , _mn случайных чисел (входных случайных параметров), используемых в описании модели входного процесса (волнения) с помощью зависимостей типа (1.5), например, в виде (1.10). Каждый вариант выборки (с номером n) строится в соответствии с заданными законами распределения вероятностей входных случайных параметров.

Для этой операции используют специальные программы для ЭВМ, датчики случайных чисел, генераторы случайных функций [83, 84, 89].

2. Каждая из N выборок входных случайных параметров определяет реализацию входного процесса X(_1n, _2n, ... , _kn, ... , _mn, t). Для каждой такой реализации выполняется численное интегрирование системы уравнений (4.1) и находятся реализации установившихся выходных процессов, из которых определяются исследуемые выходные процессы Y_j. В результате получаем реализации процессов Y_1n, Y_2n, ... , Y_jn, ... , Y_mn (n = 1, 2, ..., N).

3. Оцениваются статистические характеристики выходного процесса Y_j (или, если это необходимо, функций от них ); в частности, находятся следующие параметры:

- математическое ожидание

; (4.2)

- моменты системы случайных величин

(4.3)

- вероятность того, что некоторая функция будет принимать значения в пределах b₁  x(A_j) < b₂

, (4.4)

где М - число реализаций, при которых выполняется неравенство в формуле (4.4).

Оценки статистических характеристик случайных процессов Y_j, выполняемые по формулам (4.2)-(4.4), сами являются случайными величинами.

Их изменчивость (а, следовательно, и точность оценок) существенно зависят от типа исследуемого параметра, от выбранной модели морского волнения и числа реализаций N (числа повторений численного эксперимента).

В связи со статистической изменчивостью оценок, получаемых методом Монте-Карло, важно знать, какое число реализаций N следует выбрать чтобы, например, оценка вероятности по формуле (4.4) отличалась от своего истинного значения не больше, чем на некоторую заданную величину (не выходила за доверительный интервал ) с заданной доверительной вероятностью.

Пусть истинное значение вероятности будет . Тогда справедливы следующие приближенные выражения [89]:

- для дисперсии оценки вероятности P

,

- для потребного числа реализаций N

. (4.5)

Здесь  - требуемая точность оценки вероятности, а в качестве меры точности принято отношение среднеквадратического отклонения оценки к ее среднему значению, т.е.

.

При относительно грубой оценке малых вероятностей P (например, в зоне экстремальных значений внешних сил)  можно принять равным единице. Тогда из формулы (4.5) следует, что для оценки экстремальных величин нагрузок на стационарных режимах волнения (вероятностных распределений в области малых обеспеченностей) требуемое число N построений численного (физического) эксперимента составляет величины порядка 10⁴. Учитывая огромные затраты машинного времени на численное интегрирование уравнений типа (4.1) для получения такого числа реализаций (или затраты труда на осуществление модельного эксперимента), следует признать, что классические схемы метода Монте-Карло мало пригодны для исследования экстремальных значений нагрузок. Вместе с тем этот метод позволяет относительно малыми затратами получать моментные и некоторые другие характеристики вероятностных распределений нагрузок на конструкции высокоскоростных судов. Однако в любом случае, как это следует из формулы (4.5), увеличение числа реализаций приводит к убыванию погрешности с небольшой скоростью порядка 1/, поэтому применение метода статистических испытаний неизбежно ведет к чрезмерным затратам машинного времени.

Поиск более экономичных приемов решения нелинейных задач статистической динамики привел к появлению ряда других методов, родственных рассмотренному методу. Среди них наибольшую популярность имеют метод Б.Г.Доступова (метод эквивалентных возмущений) 2, 84 и интерполяционный метод В.И.Чернецкого 2, 88, 89. В этих методах процедура получения выборок случайных чисел заменяется фиксированием их на некоторых рациональных уровнях, что делает эти методы с алгоритмической точки зрения более простыми, чем метод Монте-Карло. Однако область применения этих методов весьма ограничена.