2. Система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами

При решении задач гидроупругости судовых конструкций приходится сталкиваться с периодическим изменением присоединенных масс жидкости, обусловленным изменением смоченной поверхности судна при взаимодействии его с волнами. В частности, такая проблема возникает при анализе волновой вибрации судов 33. В дифференциальных уравнениях, описывающих качку судов, переменными во времени могут быть не только инерционные коэффициенты, но и коэффициенты демпфирующих и восстанавливающих сил. Рассмотрим движение системы с одной степенью свободы с переменными коэффициентами , зависящими от времени (такая система анализируется при изучении волновой вибрации)

, (3.17)

где - случайный процесс.

Полагая , представим уравнение (3.17) в виде системы двух уравнений первого порядка

или одного векторного уравнения

, (3.18)

где

.

Общее решение уравнения (3.18) можно представить в виде

, (3.19)

где - фундаментальная матрица решений (матрицант) однородного уравнения (3.18), равная при t=0 единичной матрице; - вектор начальных данных; - матрица Грина.

Компоненты вектора могут быть представлены как детерминированными, так и случайными величинами. Будем полагать, что вероятностные характеристики (математические ожидания и дисперсии ) этих компонент известны. Математическое ожидание вектора

;

или в скалярном виде

Автокорреляционная функция и дисперсия процесса

Решение уравнения (3.17) отыскиваем в виде ряда по степеням малого параметра

. (3.20)

Предполагая, что решение (3.20) удовлетворяет уравнению (3.17) тождественно по и поэтому коэффициент при каждой степени должен обратиться в нуль, получаем следующую систему уравнений:

;

;

Таким образом

;

;

, (27-1)

или

(27-2)

Рассмотрим движение системы с одной степенью свободы с переменными инерционными коэффициентами, зависящими от процесса волнения (такая система анализируется при изучении волновой вибрации)

, (4.13)

где M – постоянная составляющая приведенной массы судна и присоединенной воды; - малый постоянный параметр; k_m – постоянный коэффициент; N и C – приведенные коэффициенты демпфирования и жесткости соответственно; - случайный процесс волнения.

Решение уравнения (4.13) отыскиваем в виде ряда по степеням малого параметра

. (4.14)

Предполагая, что решение (4.14) удовлетворяет уравнению (4.13) тождественно по и поэтому коэффициент при каждой степени должен обратиться в нуль, получаем следующую систему уравнений:

;

;

, (27-1)

или

(27-2)