Частотная характеристика стационарной линейной системы.

Рассматривая в качестве входного сигнала гармонические колебания , мы, по существу, сужаем область определения передаточной функции , представляющую собой комплексную плоскость, до мнимой оси этой плоскости, т.е. ограничиваемся чисто мнимыми значениями параметра и получаем передаточную функцию вида. В этом случае определяет коэффициент усиления амплитуды гармонических колебаний на входе l || и сдвиг фазы arg гармонических колебаний на выходе k по сравнению со входными как функции частоты . Поэтому передаточная функция системы, рассматриваемая как функция чисто мнимого параметра (т. е. суженная на мнимую ось комплексной плоскости), называется частотной характеристикой стационарной линейной системы. Коэффициент усиления амплитуды || (модуль частотной характеристики) называется амплитудной или амплитудно-частотной характеристикой, а сдвиг фазы arg - фазовой или фазово-частотной характеристикой.

Заметим здесь, что свойство некоторых динамических систем пропускать гармонические колебания без изменения их формы, а только изменяя амплитуду и сдвигая фазу, дающее возможность исследовать их алгебраическими методами и методами функционального преобразования случайных величин, лежит в основе метода исследования динамических систем в частотной области, который используется применительно не только к линейным системам, но и к слабо нелинейным.

С помощью частотной характеристики устойчивой линейной системы легко вычисляется ее установившаяся реакция на любой входной сигнал, который можно разложить на элементарные гармонические колебания (т. е. представить рядом или интегралом Фурье).

Предположим, что центрированный входной сигнал X устойчивой стационарной линейной системы может быть представлен интегралом Фурье (см. формулу (1.16) )

(3.5)

Тогда на основании принципа суперпозиции установившийся выходной сигнал Y (при бесконечно долгом действии входного сигнала X) определится формулой

(3.6)

В частности, представив функцию интегралом Фурье 77, приложение 1

выразим реакцию системы на импульсный входной сигнал , т.е. ее весовую функцию, через частотную характеристику

Таким образом, весовая функция и частотная характеристика стационарной линейной системы связаны между собой преобразованием Фурье. Следовательно,

Так как любой ограниченный непрерывный входной сигнал, действующий на конечном интервале времени (а только такие сигналы приходится рассматривать в задачах практики), можно представить интегралом Фурье, то с помощью частотных характеристик можно вычислять установившиеся выходные сигналы устойчивых стационарных линейных систем практически при любых входных сигналах.

4.3. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой. Спектральная плотность и дисперсия выходного процесса

На практике системы, обладающие строго выраженной линейностью, встречаются крайне редко. Как правило, нелинейность проявляется наиболее отчетливо в тех случаях, когда исследуются статистики экстремальных значений процессов. Однако если изучаемая система не является сильно нелинейной, то описываемые здесь методы исследования линейных систем приведут к осмысленным результатам, представляющим собой линейные приближения к реальным процессам.

Примерами выходных процессов, которые часто подвергаются приближенному анализу с помощью линейных математических моделей, могут служить процессы качки водоизмещающих судов, волнового давления на днище, волновых моментов в сечениях корпуса этих судов и т. п.

Если динамическая система линейна и стационарна, а входные процессы стационарны, то и выходные процессы будут стационарными. Для стационарных процессов задача преобразования может быть сведена к преобразованию лишь одной неслучайной функции — спектральной плотности.

Рассмотрим линейную стационарную систему с одним входом и m выходами. Выходной сигнал м на k-выходе системы отыщем следующим образом (см. формулу (3.6)

(3.7)

Здесь - частотная характеристика k-го выхода; - случайная функция с корреляционной функцией , определяемой формулой (1.17), т.е. равной .

Взаимная корреляционная функция сигналов и на k-м и j-м выходах равна

Подставляя сюда функцию , определяемую формулой (1.17), и интегрируя по переменной , получим

(3.8)

Обозначив произведение первых трех сомножителей в подынтегральном выражении через

, (3.9)

получим

(3.10)

Отсюда следует, что преобразованием Фурье функции является взаимная корреляционная функция . Следовательно, представляет собой взаимную спектральную плотность процессов (см. формулу (1.40) ).

Таким образом, при преобразовании стационарных СП стационарной линейной системой взаимная спектральная плотность выходных процессов равна спектральной плотности входного процесса, умноженной последовательно на частотную характеристику выхода k системы и на сопряженную частотную характеристику выхода j.

При совпадении индексов (при k = j) рассматривается единственный процесс и формулы (3.8) и (3.9) дают соответственно значения корреляционной функции и спектральной плотности для одного процесса (т.е значения автокорреляционной функции и автоспектра)

; (3.11)

. (3.12)

Следовательно, при преобразовании стационарного СП стационарной линейной системой каждая из ординат автоспектра определяется как произведение спектральной плотности волнения на квадрат модуля частотной характеристики (на квадрат амплитудной характеристики) для соответствующей частоты.