4.2. Динамические характеристики линейных систем Весовая функция линейной системы

Рассмотрим линейную систему с n входами и m выходами. На основе принципа суперпозиции выходной сигнал на k-м выходе системы, имевшей в момент времени нулевые начальные условия, выражается при через входные сигналы формулой

(3.2)

Здесь

, (3.3)

где – весовая функция (функция Грина, импульсная переходная функция или импульсная реакция) системы по l-му входу и k-му выходу.

Функцию , представленную формулой (3.2), можно интерпретировать как изменение во времени k-й обобщенной координаты механической системы с n степенями свободы при действии на нее n приведенных (обобщенных) внешних сил . Функцию можно представить в виде реакции k-й обобщенной координаты механической системы на единичный приведенный импульс, соответствующий l-й форме колебаний системы.

Совокупность весовых функций , соответствующих всем входам и выходам, является исчерпывающей характеристикой многомерной линейной системы.

Стационарной называется такая система, у которой при любом сдвиге входного сигнала во времени без изменения его формы (т.е. при замене на при любом Т) выходной сигнал претерпевает тот же сдвиг во времени и не изменяет своей формы (т. е. заменяется на ).

Легко видеть, что система дифференциальных уравнений (3.1), стационарна тогда и только тогда, когда правые части этих уравнений, т. е. функции и не зависят явно от времени. Такое условие в задачах строительной механики корабля выполняется только при их упрощенной постановке. Как уже отмечалось, взаимодействие судна с волнами часто сопровождается большими изменениями смоченной поверхности судна и, соответственно, значительными колебаниями инерционных характеристик судна и судовых конструкций. Присоединенные массы жидкости зависят от процесса волнения и, следовательно, от времени. Явная зависимость от времени коэффициентов дифференциальных уравнений (уравнений качки и гидроупругих колебаний корпуса) и; соответственно, функции дают основание считать систему (3.1) в общем случае нестационарной.

Передаточная функция стационарной линейной системы.

Из определения стационарной системы следует, что весовая функция стационарной линейной системы зависит только от разности ее аргументов. Действительно, согласно определению реакция стационарной линейной системы в момент t на единичный импульс, действующий в момент , совпадает с ее реакцией в момент t- на единичный импульс, действующий в нулевой момент, т. е. при всех t, . Положив , будем иметь .

Основной особенностью стационарных линейных систем является то, что любая устойчивая стационарная линейная система преобразует входной сигнал, представляющий собой показательную функцию е^st, без изменения его формы. На выходе системы оказываются измененными лишь ординаты сигнала прямо пропорционально некоторому множителю , называемому коэффициентом усиления. Действительно, положив в (3.3) в случае одномерной системы , получим

где (3.4)

Эти формулы подтверждают обоснованность нашего утверждения и показывают, что коэффициент усиления показательной функции зависит от параметра s. Этот коэффициент называется передаточной функцией от входа l к выходу k стационарной линейной системы. В совокупности функции образуют mn-матрицу — передаточную функцию многомерной системы.

Высказанное утверждение о неизменяемости формы сигнала верно и для комплексного параметра s. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что на основании принципа суперпозиции реакция линейной системы на комплексный входной сигнал представляет собой комплексную функцию времени, действительная и мнимая части которой равны реакциям системы на действительную и мнимую части входного сигнала соответственно. Конечно, при отличной от нуля мнимой части параметра s функция имеет комплексное значение. Это означает, что стационарная линейная система сохраняет форму гармонических колебаний с амплитудой, изменяющейся по показательному закону, усиливая их амплитуду и сдвигая фазу. При этом коэффициент усиления амплитуды равен модулю передаточной функции ||, а сдвиг фазы равен - arg.