2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа:

Уравнение энергетического баланса:

.

.

.

2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.

Реактивные сопротивления и проводимость являются частотно-зависимыми величинами. Следовательно, при последовательном или параллельном соединении элементов L и C возможна на какой-то частоте полная компенсация реактивных сопротивлений или проводимостей. Режим, при котором наступает компенсация, называют резонансом. При резонансе входное сопротивление цепи становится активным, входное напряжение совпадает по фазе с входным током, а полная мощность будет активной. Угловая частота, , при которой наступает резонанс, называется резонансной или собственной угловой частотой цепи. Различают две разновидности резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.

2.11.1. Резонанс напряжений.

Может возникнуть в цепи с последовательным соединением L и C, рис. 2.20а.

Для этой цепи запишем:

.

Условие резонанса:

или ,

откуда резонансная частота .

Настройку цепи в резонанс, изменение параметров цепи при частотах , отличных от резонансной можно увидеть, если построить частотные характеристики сопротивлений, тока в цепи и напряжений на r, L, C.

На рис. 2.20б,в,г приведены частотные характеристики реактивных сопротивлений и , суммарного реактивного сопротивления , модуля полного сопротивления , модуля входного тока , а также амплитудно-частотные характеристики напряжений:

,

,

.

По графику определена резонансная частота , по графику можно увидеть, что сопротивление цепи при резонансе минимально и равно активному сопротивлению, по графику - что ток в цепи при резонансе максимален. Графики , , имеют ярко выраженный избирательный характер, т.е. имеют максимальные значения на резонансной частоте или вблизи нее. Можно также отметить, что напряжения и при резонансе могут превышать значение входного напряжения. Это хорошо иллюстрируется с помощью векторных диаграмм напряжения приведенных на рис. 2.20д,е,ж при частотах , и .Обратите также внимание на значения угла на этих частотах и сопоставьте эти значения с характером реактивных сопротивлений на соответствующих частотах. Так при частотах , реактивное сопротивление носит емкостной характер и и т.д.

2.11.2. Резонанс токов.

Возможен в цепях с параллельным соединением L и C элементов, рис. 2.21а.

Для этой цепи запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

Компенсация реактивных проводимостей и реактивных токов:

,

произойдет на резонансной частоте

Для анализа явления резонанса токов построим частотные характеристики реактивных проводимостей рис.2.21б, модуля полной проводимости , рис.2.21в, модуля полного тока , рис. 2.21г. Здесь отмечена резонансная частота, полная проводимость цепи при резонансе минимальна и полный ток минимален. Векторные диаграммы токов, построенные для частот , ,, рис. 2.21д,е,ж, позволяют убедиться, что токи в катушке и конденсаторе могут значительно превышать полный ток.

2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.

Мы рассмотрели резонанс в последовательном и параллельном контурах с идеальными элементами L и C. Рассмотрим другие более сложные примеры. Для цепи рис. 2.22 запишем условие резонанса, определим резонансную частоту и ток в цепи.

Входные сопротивления цепи:

Выделим действительные и мнимые части сопротивлений:

Компенсация реактивных сопротивлений произойдет на частоте :

Входное сопротивление при резонансе минимально и равно:

Входной ток при резонансе максимален и равен

Для цепи, приведенной на рис. 2.23, возможен резонанс токов. Запишем входную проводимость цепи

Выделим действительные и мнимые части проводимостей:

Условие резонанса:

Входной ток:

В разветвленных цепях с L и C возможны несколько резонансов. Так в цепи рис. 2.24 возможны и резонанс токов в ветвях L , C и резонанс напряжений для всей цепи.

Пример.

Цепь, рис 2.25 настроена в резонанс. Определить и , если задано:

, ,,.

Решение:

Входное сопротивление цепи равно:

Условие резонанса напряжений:

Решая квадратное уравнение относительно , получим

Ток при резонансе равен: