Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика (Интегралы и дифференциальные уравнения) / 02 семестр / К экзамену-зачёту / Решённые билеты экзамена / хз

.pdf

Источник:

https://studizba.com

Скачиваний:

127

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Билет 7

3) Вычислить обьем тела, образованного вращением вокруг оси OX плоской фигуры, ограниченой линиями X=Y2-2Y+1 и X=1

Заменяем Y на X и X на Y Y=X2-2X+1, Y=1 и вращение вокруг OY

VY=2πa∫bXydX, X2-2X+1=1 => X(X-2)=0, X1=0, X2=2

V=2π0∫2X(X2-2X+X)dX = 2π0∫2(X3-2X2+X)dX=2π(X4/4-2X3/3+X2/2)0|2 = =2π(4-16/3+2)= 2π(18/3-16/3)= 4π/3

Ответ. 4π/3

4)Проинтегрировать дифференциальное уравнение Y*Y’’+(Y’)2=(Y’)3 при начальных условиях Y(0)=1, Y’(0) = 1

Обозначаем y’=P(y), y’’=P*dP/dy, y*PdP/dy+P2=P3, P=0-тривиальное решение y*dP/dy+P=P2, dP/(P2-P)=dy/y, dP/(P2-P+1/4-1/4)=dy/y,

∫d(P-1/2)/((P-1/2)2-(1/2)2)= ∫dy/y 1/(2*(1/2))*ln|(P-1/2-1/2)/(P-1/2+1/2)|=lny+lnC1

(P-1)/P=C1y => 1-1/P=C1y, P=1/(1-C1y), y’=1/(1-C1y), dy/dx=1/(1-C1y)

∫(1-C1y)dy=∫dx	y-C1y2/2=x+C2	1=1/(1-C1)=>C1=0, y=x+C2 =>
=> C2=1 => y=x+1

Билет 6

3)Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружности r=1 и одновременно внутри лемнискаты r2=2cos2ϕ

cos2ϕ=1/2, 2ϕ=π/3, => ϕ=π/6

S=S1-S2=1/20∫π/64cos22ϕ dϕ - (π/6)/(2π)*πr2=20∫π/6(1+cos4ϕ)/2 dϕ-π/12= =2(1/2*ϕ+1/8*sin4ϕ)0|π/6-π/12=π/12+sqrt(3)/8 ответ.S’=4S=π/12+sqrt(3)/8

4)Найти общее решение: y’’+4y=x+cos2x
хар-е ур-е: k2+4k=0, k1=0, k2=-4, r=1		yoo=C1e0X+C2e-4X
f1(x)=x,	y1=x(Ax+B)
f2(x)=cos2x,	y2=Dcos2x+Fsin2x
y=C1+C2e-4x+x(Ax+B)+Dcos2x+Fsin2x

Билет 8

3)Фигура, ограниченная линиями y=sqrt(x) и y=x, вращается вокруг оси OX. Вычислить площадь всей поверхности полученного тела.

Sx=2πa∫b1 => X(X-2)=0, X1=0, X2=2 S=S1+S2=2π0∫1sqrt(x(1+(1/2sqrt(x))2) dx + 2π0∫1x*sqrt(1+12) dx=

2π0∫1sqrt(x+1/4) dx + 2*sqrt(2)* π*x2/2 0|1= 2π*(-2)/sqrt(x+1/4) 0|1+sqrt(2)* π= =-8π/sqrt(5)+8π+sqrt(2)* π=π(8+sqrt(2)-8/sqrt(5))

4)Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+y=1/cos3x

общее решение: y’’+y=1/cos3x

y’’+y=0, k2+1=0, k=+-i yoo=e0x(C1cosx+C2sinx)

yoo=C1(x)cosx+C1(x)sinxC1’(x)*cosx+ C2’(x)*sinx=0

- C1’(x)*sinx+ C2’(x)*cosx=1/cos3xC1’+ C2’tg(x)=0

- C1’+ C2’ctg(x)=1/(sinx*cos3x)

C2’(tg(x)+ctg(x))=1/(sinx*cos3x)

C2’((sin2x+cos2x)/(sinx*cosx))=1/(sinx*cos3x)

C2’=1/cos2x

C2=tg(x)+A

C1’= - tg(x)/cos2x

C1=∫d(cosx)/cos3x= - 1/(2cos2x)+B

Билет №16.

∫1e

x(ln x)β

β = ?

y = ln x // dy =

∫1e

= ∫01

x(ln x)

β ≠1: ∫

= ∫ y

−β dy =

y−β+1

+C =

(1 − β) y

(1−β)

1 − β

∫01

−lim

−

lim y

1 − β

− β)( y

(1−β)

)

1 − β

Сходится lim y1−β 1 − β > 0, т.е.β <1

y′′− 2 y′+ y = xe5 x

− лин.неодн.ДУ.

y′′− 2 y′+ y = 0 −соотв.линейное.однородное

λ − 2λ +1 = 0 : характерист.ур−е

(λ −1)2 =

0 λ

1,2

= ex ,

= xex −ФСР

общее. решение.однородного.ур− я:

общ

(x)

= C ex +C

xex , C , C

λ = 5, не.явл.корнем.хар.ур− я,

= ( Ax + B)e

5 x

)′+5Be

5 x

= Ae

5 x

(5x

+1) +5Be

5 x

′ = A(xe

10) + 25Be

′′ = A(5(xe

)′+5e

) +

25Be

(25x +

5 x

e5 x ( A(25x +10) + 25B) − 2e5 x ((5x +1) A +5B) + e5 x ( Ax + B) = xe5 x

25Ax +10 A + 25B − 2(5Ax + A +5B) + Ax + B = x

(25A −10 A + A)x + (10 A + 25B − 2 A −10B + B) = x

16 A =1

A =

8A +16B = 0

B = −

5 x

= (

−

y(x) = C ex +C

xex + (

−

)e5 x

Билет 17.

y = 2x − x2

V = pi∫02 y2 dx = pi∫02 (2x − x2 )dx = 1615 pi

= 2x +3y

= x + 4 y

Характ. ур−е.:

2 −λ

= 0

4 −λ

λ2

−6λ +5 = 0

λ1

= 5; λ2

= C

1e5t

= C1et

= C

2 e

= C 2 et

Для λ = 5 :

= 0

(2 −5)C1

+3C2

(4 −5) = 0

+C2

−

3C1

3C2

= 0

−C2

= C

1 ;C1 = C1

1 −e. решение:

x = e5t , y = e5t

Для λ =1 :

= 0

+3C2

= 0

+3C2

C 2

= −3C 2

; приC 2 =1

=> C 2

= −3

2 −e реш. : x = −3et , y = et

Общее решение:

x = C1e5t −3C2 et y = C1e5t +C2 et

Билет 18

4x2 + y2 = 4, Oy

x2 +

=1=> x2

−

V = π∫−22

(1 −

)dy =

8π

xy′′ − y′ = x 2 e x

y(1) = 0, y′(1) = e

y′ =

p( x)

y′′ =

p′

xp′ − p = x 2 e x

− лин.неоднород .

xp′ − p = 0 − лин.однород

x = p

=> p = cx

p = C(x)x (Метод.Лагранжа)

′

= C (x)x +C(x) − −подставим

′

xC (x)x +C(x)x −C(x)x = x

′

(x) = x

′

− > C(x) = e

+C1 (гдеС1

= const)

(x) = e

p = (ex +C1 )x = y′

y = ∫

pdx = ∫ex xdx +C1

∫ xdx = C1

+ xex

− ∫ ex dx

y = C

+ e

(x −1)

y′ = C1 x + ex x // при условииx =1 :

+ e0 +C

= 0

C = 0

yответ = ex (x −1)

+C1 ) = e

C2 =

1(e

Билет 19.

r = 5(1 + cosϕ)
l = 2∫02π dl = 2∫0π r 2 + r′2 dϕ
r′ = −5sin ϕ
l = 2∫0pi 5	1 +1 + 2 cosϕdϕ
l =10∫0pi	2(1 + cosϕ)dϕ
pi		ϕ	pi		ϕ		ϕ
l =10∫0	4 cos2	2	dϕ = 40∫0	cos	2	d	2
		2			2		2
l = 40

dxdt = x − y

dy = −4x + y

1		−1
A =
	− 4	1

det( A −λE) = λ2 − 2λ −3

λ1 = −1, λ2 = 3

находимсобственныевектора(ai ) каквЛА, решение = ai Ci eλit

1)λ = −1 :

a1 = 1 C1 => Z1 = 1 C1e−t2 2

2)λ = 3 :

a2 = −12 C2 Z2 = −12 C2 e3t

Ответ: Z = Z		+ Z			1			1			e3t
Ответ: Z = Z	1	+ Z	2	=		C e−t +			C		e3t
	1		2		2		1	− 2		2
					2			− 2

Билет 20.

∞ arctan xdx

∫1

//(N ) // ↔ сходится?

x(x2

+1)

arctan x

< π

x(x2 +1) = x3 + x2 > x3 x ≠ 0

π / 2

//( A) // >

arctan xdx

//(B) //

x(x2

+1)

Исследуем∫1∞ π /32 dx =

π ∫1∞

= π (

)

∞

π + (−π ) lim

= K

= −

−2x

x→∞

т.к.∫ = K ( A)сходится− > всилу(B)

сходитсяи(N )!!

dxdt = −2x −3y

dy = −x

− 2		−3
A =
	−1	0

det( A −λE) = λ2 + 2λ −3

λ1 = −3, λ2 =1

находимсобственныевектора(ai ) каквЛА, решение = ai Ci eλit

1)λ = −3 :

=> Z

C e−3t

2)λ =1:

Z2 =

C2 e

−1

−

Ответ:

Z = Z

+ Z

C e

−3t +

−1

Билет № 10.

3) Вычислить длину дуги кривой y = α·ln(α–x2) от x1 = 0 до x2 = a2

S = ∫a

1 +(y')2 dx ,

2 xa 2

4 x 2 a 2

a 4 − 2a 2 x 2 + x 4 + 4 x 2 a 2

S = ∫

1 +

− x

2 dx

= ∫ 1 +

− x

2 2 dx

= ∫

− x

dx =

)

+ x

−

= ∫

+ x 2 )2 dx

= ∫

dx = −∫1 +

= −∫dx + 2a 2 ∫

− x

)

0 a

− x

a + x

= −

+ 2a

2 = −

+ a ln

2 = −

+ a ln

= −

+ a ln 3

a − x

4)y’’+ y’- 6y =2 sin x

k 2 + k −6 = 0 D = 1 + 24 = 25

k1 ,2	=	−1 ±5
		2
k1 = 2 ,		k2 = −3 ,	кратность 1

y00 = c1e 2 x + c2 e −3 x y = A cos x + B sin x

Ответ: y = c1e2 x +c2e−3 x + Acos x + B sin x .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Решённые билеты экзамена

#
04.03.2014944.04 Кб131теория.pdf
#
04.03.20141.59 Mб127хз.pdf