Добавил:

Uman Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика (Интегралы и дифференциальные уравнения) / 02 семестр / К экзамену-зачёту / Решённые билеты экзамена / хз

.pdf

Источник:

https://studizba.com

Скачиваний:

127

Добавлен:

04.03.2014

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

	Билет№1			5
	Билет№1			4
1.	y=2ln(x-2)			3
1.	y=2ln(x-2)			2
	y=ln(x)		2 ln ( x − 2 )	1
				1
	y=0		ln ( x )	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
				1
	2ln(x-2)=ln(x)			2
	2ln(x-2)=ln(x)			3
				3
	ln(x-2)2=ln(x)	ОДЗ :	x-2>0	4
	ln(x-2)2=ln(x)	ОДЗ :	x-2>0	5
			x>2	5
			x>2						x ,	x
									x ,	x

(x-2)2=ln(x) (x-2)2=x

x2 –4x+4=x x2-5x+4=0

x1 = 1 ; x2 = 4 ;

Точка пересечения:	x=4
( Вывод формулы	∫(ln(x)dx) = x(lnx-1):	)
( ∫(ln(x)dx) = ∫ udv = xln(x)- ∫(xd(ln(x))) = xln(x)-∫(x*(1/x)) = x(lnx-1)		)

S1 =1∫4 (ln(x)dx)= x(lnx-1) 1 = 4(ln4-1)-ln1-1 = 4ln4-4-1 = 4ln4-5;

S2 = 2*(3∫4(ln(x-2)dx)) = 2*(3∫4(ln(x-2)d(x-2))) = 2(x-2)(ln(x-2)-1) 1 = = 2*2(ln2-1)-2ln1= 4ln2-4;

Искомая площадь:

S = S1-S2 = 2ln2-5-4ln2+4 = 2(ln4-ln2)-1 = 4ln2-1 Ответ: S = 4ln2-1.

2. λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = i λ4 = -i (x-1)(x-2)(x-i)(x+i) = 0

(x2-3x+2)(x2+1) = 0;

x4+x2-3x3-3x+2x2+2 = 0 x4-3x3+3x2-3x+2 = 0

y′′′′-3y′′′+3y′′-3y′+2y = 0

y1=ex; y2=e2x; y3 =e0 cos(x) = cos(x); y4 = sin(x);

Общее решение составленного дифференциального уравнения: Y = c1y1+c2y2+c3y3+c4y4 = c1ex+c2e2x+c3cos(x)+c4sin(x) ;

Ответ: Y = c1y1+c2y2+c3y3+c4y4 = c1ex+c2e2x+c3cos(x)+c4sin(x) ;

						5
						5
		Билет№2				4
						4
						3
						3
						2
1.			1 + x2			2
						1
						1
Y = 1+x2			3 − x2	4	2							0		4
											1		2


Y = 3-x	2									2
	2									2
									3
									3
V=2V1								4
V=2V1								4
1+x2 = 3-x2							5
							5

2x2-2 = 0											x , x
x2-1 = 0
x1 = -1 ;		x2 = 1;

V1 = V2 –V3

V2 = π*0∫1 ((3-x2)2 dx) = π*0∫1 ((9-6x2+x4)dx) = π(9*0∫1(dx)-6*0∫1(x2dx) +0∫1(x4dx)) =

= π(9x-2x3+(x5/5)) 0 = π(9-2+(1/5)) = (36/5)π

V3=π*0∫1(1+x2)2dx = π(0∫1dx+20∫1(x2dx)+ π*0∫1(x4dx) = π(x+(2/3)*x3+(x5/5)) 0 = = π(1+(2/3)+(1/5)) = (28/15) π

V1 = V2 –V3 = (36/5)π - (28/15) π = (90/15)π = 6π

Ответ: объём вращения V=6π

2.y′′+9y = (1/sin33x)

Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения

y′′+9y = 0	k2+9 = 0
Составим характеристическое уравнение:	k2+9 = 0
	k2 = -9 ; k1 = -3i ; k2 = 3i ;
Фундаментальная системы решений:	y1 = cos3x y2 = sin3x
Общее решение однородного уравнения:	yo.o = c1cos(3x) +c2sin(3x)
Общее решение неоднородного уравнения в виде:
yo.н = c1(x) cos(3x) +c2(x)sin(3x) , где c1(x),c2(x)- неизвестные функции
Функции c1(x),c2(x) определяем из системы	c′1(x) cos(3x) +c′2(x)sin(3x) = 0

-3c′1sin(3x)+3c′2(x)cos(3x) =

1/sin3(3x)

****************************************************

c′1(x) cos(3x)+c′2(x)sin(3x) = 0

c′2(x)cos(3x)-c′1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

****************************************************

c′2 (x) = (-c′1(x) cos(3x))/sin(3x)

(-c′1(x)- cos2(3x))/sin(3x)- c′1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

(-c′1(x) (cos2(3x)+ sin2(3x))/sin(3x)- c′1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

c′1(x) = -1/sin3(3x) ; c′2 (x) = (1/sin3(3x))*cos(3x) = cos(3x)/sin3(3x); c1(x) =(1/3)ctg(x)+c1 ;

c2 (x) = ∫ ((cos3x/sin3x)*dx) = ∫(d(sin3x)/sin33x ) =(1/3)*∫((sin-3(3x)* d(sin3x)) = -1/(6*sin2(3x)) +c2

Общее решение неоднородного уравнения:

Yо.н.= ctg(x)cos(3x) + c1cos(3x) + c2sin(3x) – 1/(6*sin(3x))

Ответ:

Yо.н.= (1/3)*(cos2(3x)/(sin(3x))-1/(6*sin(3x))+c1cos(3x)+c2sin(3x) = cos(6x)/3sin(3x)+ c1cos(3x) ++ c2sin(3x)

Билет№4
1) y = 1+x2 ;
y = 5;				8
y = 5;				6
1+x2 = 5
1+x2 = 5
x2-4 = 0	(1+x2)			4
x2-4 = 0				4
x1 = -2; x2 = 2;
x1 = -2; x2 = 2;				2
Vy = 2πa∫b (x f(x) dx) ; a>=0;


V = 2π0∫2 (x*(1+x2) dx) = 2π(0∫2 (xdx)+ 0∫2 (x2dx)) =
		5	3		1		1
								3	5
								3	5
2						2
2						2
= 2π(x2/2)+(x3/3) 0 =2π(4/2+8/3) = 2π(2+8/3) =						x,x
= (28/3) π						x,x
= (28/3) π
Ответ: (28/3)π.

2) y′′-2y′+2y = ex/sin3x

y′′-2y′+2y = 0 k2-2k+2 = 0

D = 4-4*2 = -4;

k1 = (2-2i)/2 = 1-i; k2 = 1+i;

Фундаментальная система решений: y1 = excos(x); y2 = exsin(x);

yo.o. = c1excos(x) + c2exsin(x);

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде yo.н. = c1(x)excos(x) + c2(x)exsin(x);

c1(x), c2(x) находим их системы: c′1(x)excos(x)+c′2(x)exsin(x) = 0

c′1(x)(excos(x)-exsin(x))+ c′2(x)(exsin(x)+excos(x)) = ex/sin3(x);

c′1(x) = (-sin(x)/cos(x))*c′2(x);

(-sin(x)/cos(x))*c′2(x)* (excos(x)-exsin(x))+ c′2(x)(exsin(x)+excos(x)) = ex/sin3(x); -c′2(x)* exsin(x)+ c′2(x)*((ex*sin2(x))/cos(x)) + c′2(x)* exsin(x)- c′2(x)* excos(x) = (ex/sin3x);

c′2(x) ex ((sin2(x)+cos2(x))/cos(x)) = ex/sin3(x); c′2(x) = cos(x)/sin3(x);

c′1(x) = (-sin(x)/cos(x))*(cos(x)/sin3(x)) = -1/sin2(x);

c2(x) = ∫( (cos(x)/sin3(x))dx) = ∫(d(sin(x))/sin3(x)) = -1/(2sin2(x) +c2; c1(x) = ctg(x) +c1;

yо.н. = (cos(x)/sin(x)+c1)* excos(x) + (-1/(2sin2(x))+c2)*exsin(x) =

=(cos2(x)*ex)/sin(x) +c1excos(x)-ex/(2sin(x))+c2exsin(x) =

=(2cos2(x)-1)*ex)/sinx + c1excosx +c2exsinx =(cos(2x) *ex)/sin(x)+c1excosx+c2exsinx Ответ: (cos(2x) *ex)/sin(x)+c1excosx+c2exsinx

Билет №3.

3) y=1–x2, y>0								Sпов=?


	b				′			2								2



S y = 2π ∫x( y) 1 + x ( y)									dy								1−x
	a
	a
x( y) =	1 − y			1					1			1
x( y) =	1 − y
′			2
′			2
x ( y) =	(1 − y)		1	= 1 − y 2 (−1) = − 2 1 − y														x
x ( y) =	(1 − y)			= 1 − y 2 (−1) = − 2 1 − y														x
Sпов = 2π ∫1		1 − y 1 +							1		dy = 2π ∫1		1 − y			4(1 − y) +1dy =
	0						U (1 − y)					0				U (1 − y)
= 2π ∫1	1 − y			5 −4 y dy =π ∫1							5 − 4 ydy = −			1	π ∫1	5 − 4 yd (5 − 4 y) =
0			2	1 − y					0					4	0
= − 1 π	2 (5 −			3		1	= −π +			π			5 5 −1
				3		1
				4 y)	2							5 5 =				π
4	3								6	6				6
4	3					0			6	6				6

4)y′′+ y′ = ex1+1 y′′+ y′ = 0

2 + k = 0

(k +1)= 0

k1 = 0

= −1

ФСР:

= e−x

= c

e−x

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде:

он

= c

(x)+ c

(x) e−x

с1(х), с2(х) определяем из системы:

c′(x)+c′(x) e

−x

= 0

′

(x)

′

(x)e

−x

′

= −c2

c1 (x)=

−1

−c′(x)e

−x

′

(x)

−e

+1)

(x)=

−x

′

c1 (x)= ∫

x = ln t

= ∫

−1

dt + ∫dtt = −∫dt(t++11)+ ∫dtt =

dx = 1t dt

ex +1

(t +1)t

t +1

t = ex

= −ln

t +1

+ ln

= ln

+ c

c2 (x)= −∫

dx = −∫

d (ex +1)

= −ln(e

+1)+ c2

ex +1

Тогда:

Ответ

он

= ln

+ c

e−x −e−x ln(ex

+1)

ex +1

Билет № 5

y1 = ex − 2

3)y2 = 3e−x = e2x

x= 0

			4
ex−2			2
ex−2
− y	5	3	1	1	3	5
3e
			2
			4

Найдем точку пересечения:

− 2 = 3e−x

− 2 =

e2 x − 2ex −3 = 0

b2 −2b −3

D = 4 + 4 3 =16

b1 = −1

b2 = 3

ex = 3

x = ln 3

y = ex −2 = 3 −2 =1

y =1

x = ln 3

(y)= ln(y + 2)

(y)= ln(

)

= ∫3 ln

dy = ∫3 ln 3dy − ∫3 ln ydy =

(ln 3 y − y(ln y −1))

= 3ln 3 −3(ln 3 −1)−ln 3 +1(−1)= 3 −ln 3 −1 = 2 −ln 3

S2 = ∫1 ln(y + 2)dy = ∫1 ln(y + 2)d(y +				2)= (y + 2)(ln(y + 2)−1)	1
−1			1		−1
= 3(ln 3 −1)−1(ln1 −1)= 3ln 3 −3 +1 = 3ln 3 − 2
S = S1 + S2 = 2 −ln 3 +3ln 3 − 2 = 2 ln 3
Ответ:
Площадь равна
S = 2 ln 3
4) y′′− 4 y′+ 4 y = −16x2 + 4
y′′− 4 y′+ 4 y = 0
k 2 − 4k + 4 = 0
(k −2)2	= 0
k1 = 2	k2 = 2
ФСР:
y = e2 x	y	2	= x e2 x
1		2

Общее решение однородного уравнения:

(продолжение билета № 5)

yoo = c1e2 x + c2e2 x

g(x)= −16x2 + 4 g(x)= eα(x )P(x)

α = 0

Частное решение:

Y = Ax2 + Bx +C Y ′ = 2Ax + B

Y ′′ = 2A

2A −8Ax −4B + 4Ax2 + 4Bx + 4C = −16x2 + 4

4A =16

(−8A + 4B)= 0(2A −4B + 4C)= 4

Yчн = −4x2 −8x −5

Yон = c1e2 x + c2 x e2 x

Ответ:

A = −4

B = −8

−8 +32 + 4C = 4

− 4x2 −8x −5

A = −4B = −8

C = −5

Yон = c1e2 x + c2 x e2 x − 4x2 −8x −5

	Билет№1			5
	Билет№1			4
1.	y=2ln(x-2)			3
1.	y=2ln(x-2)			2
	y=ln(x)		2 ln ( x − 2 )	1
				1
	y=0		ln ( x )	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
				1
	2ln(x-2)=ln(x)			2
	2ln(x-2)=ln(x)			3
				3
	ln(x-2)2=ln(x)	ОДЗ :	x-2>0	4
	ln(x-2)2=ln(x)	ОДЗ :	x-2>0	5
			x>2	5
			x>2						x ,	x
									x ,	x

(x-2)2=ln(x) (x-2)2=x

x2 –4x+4=x x2-5x+4=0

x1 = 1 ; x2 = 4 ;	x=4
Точка пересечения:	x=4
( Вывод формулы	∫(ln(x)dx) = x(lnx-1):	)
( ∫(ln(x)dx) = ∫ udv = xln(x)- ∫(xd(ln(x))) = xln(x)-∫(x*(1/x)) = x(lnx-1)		)

S1 =1∫4 (ln(x)dx)= x(lnx-1) 1 = 4(ln4-1)-ln1-1 = 4ln4-4-1 = 4ln4-5;

S2 = 2*(3∫4(ln(x-2)dx)) = 2*(3∫4(ln(x-2)d(x-2))) = 2(x-2)(ln(x-2)-1) 1 = = 2*2(ln2-1)-2ln1= 4ln2-4;

Искомая площадь:

S = S1-S2 = 2ln2-5-4ln2+4 = 2(ln4-ln2)-1 = 4ln2-1 Ответ: S = 4ln2-1.

2. λ1 = 1 λ2 = 2 λ3 = i λ4 = -i (x-1)(x-2)(x-i)(x+i) = 0

(x2-3x+2)(x2+1) = 0;

x4+x2-3x3-3x+2x2+2 = 0 x4-3x3+3x2-3x+2 = 0

y′′′′-3y′′′+3y′′-3y′+2y = 0

y1=ex; y2=e2x; y3 =e0 cos(x) = cos(x); y4 = sin(x);

Общее решение составленного дифференциального уравнения: Y = c1y1+c2y2+c3y3+c4y4 = c1ex+c2e2x+c3cos(x)+c4sin(x) ;

Ответ: Y = c1y1+c2y2+c3y3+c4y4 = c1ex+c2e2x+c3cos(x)+c4sin(x) ;

						5
						5
		Билет№2				4
						4
						3
						3
						2
1.			1 + x2			2
						1
						1
Y = 1+x2			3 − x2	4	2							0		4
											1		2


Y = 3-x	2									2
	2									2
									3
									3
V=2V1								4
V=2V1								4
1+x2 = 3-x2							5
							5

2x2-2 = 0											x , x
x2-1 = 0
x1 = -1 ;		x2 = 1;

V1 = V2 –V3

V2 = π*0∫1 ((3-x2)2 dx) = π*0∫1 ((9-6x2+x4)dx) = π(9*0∫1(dx)-6*0∫1(x2dx) +0∫1(x4dx)) =

= π(9x-2x3+(x5/5)) 0 = π(9-2+(1/5)) = (36/5)π

V3=π*0∫1(1+x2)2dx = π(0∫1dx+20∫1(x2dx)+ π*0∫1(x4dx) = π(x+(2/3)*x3+(x5/5)) 0 = = π(1+(2/3)+(1/5)) = (28/15) π

V1 = V2 –V3 = (36/5)π - (28/15) π = (90/15)π = 6π

Ответ: объём вращения V=6π

2.y′′+9y = (1/sin33x)

Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения

y′′+9y = 0	k2+9 = 0
Составим характеристическое уравнение:	k2+9 = 0
	k2 = -9 ; k1 = -3i ; k2 = 3i ;
Фундаментальная системы решений:	y1 = cos3x y2 = sin3x
Общее решение однородного уравнения:	yo.o = c1cos(3x) +c2sin(3x)
Общее решение неоднородного уравнения в виде:
yo.н = c1(x) cos(3x) +c2(x)sin(3x) , где c1(x),c2(x)- неизвестные функции
Функции c1(x),c2(x) определяем из системы	c′1(x) cos(3x) +c′2(x)sin(3x) = 0

-3c′1sin(3x)+3c′2(x)cos(3x) =

1/sin3(3x)

****************************************************

c′1(x) cos(3x)+c′2(x)sin(3x) = 0

c′2(x)cos(3x)-c′1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

****************************************************

c′2 (x) = (-c′1(x) cos(3x))/sin(3x)

(-c′1(x)- cos2(3x))/sin(3x)- c′1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

(-c′1(x) (cos2(3x)+ sin2(3x))/sin(3x)- c′1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

c′1(x) = -1/sin3(3x) ; c′2 (x) = (1/sin3(3x))*cos(3x) = cos(3x)/sin3(3x); c1(x) =(1/3)ctg(x)+c1 ;

c2 (x) = ∫ ((cos3x/sin3x)*dx) = ∫(d(sin3x)/sin33x ) =(1/3)*∫((sin-3(3x)* d(sin3x)) = -1/(6*sin2(3x)) +c2

Общее решение неоднородного уравнения:

Yо.н.= ctg(x)cos(3x) + c1cos(3x) + c2sin(3x) – 1/(6*sin(3x))

Ответ:

Yо.н.= (1/3)*(cos2(3x)/(sin(3x))-1/(6*sin(3x))+c1cos(3x)+c2sin(3x) = cos(6x)/3sin(3x)+ c1cos(3x) ++ c2sin(3x)

Билет№4
1) y = 1+x2 ;
y = 5;				8
y = 5;				6
1+x2 = 5
1+x2 = 5
x2-4 = 0	(1+x2)			4
x2-4 = 0				4
x1 = -2; x2 = 2;
x1 = -2; x2 = 2;				2
Vy = 2πa∫b (x f(x) dx) ; a>=0;


V = 2π0∫2 (x*(1+x2) dx) = 2π(0∫2 (xdx)+ 0∫2 (x2dx)) =
		5	3		1		1
								3	5
								3	5
2						2
2						2
= 2π(x2/2)+(x3/3) 0 =2π(4/2+8/3) = 2π(2+8/3) =						x,x
= (28/3) π						x,x
= (28/3) π
Ответ: (28/3)π.

2) y′′-2y′+2y = ex/sin3x

y′′-2y′+2y = 0 k2-2k+2 = 0

D = 4-4*2 = -4;

k1 = (2-2i)/2 = 1-i; k2 = 1+i;

Фундаментальная система решений: y1 = excos(x); y2 = exsin(x);

yo.o. = c1excos(x) + c2exsin(x);

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде yo.н. = c1(x)excos(x) + c2(x)exsin(x);

c1(x), c2(x) находим их системы: c′1(x)excos(x)+c′2(x)exsin(x) = 0

c′1(x)(excos(x)-exsin(x))+ c′2(x)(exsin(x)+excos(x)) = ex/sin3(x);

c′1(x) = (-sin(x)/cos(x))*c′2(x);

(-sin(x)/cos(x))*c′2(x)* (excos(x)-exsin(x))+ c′2(x)(exsin(x)+excos(x)) = ex/sin3(x); -c′2(x)* exsin(x)+ c′2(x)*((ex*sin2(x))/cos(x)) + c′2(x)* exsin(x)- c′2(x)* excos(x) = (ex/sin3x);

c′2(x) ex ((sin2(x)+cos2(x))/cos(x)) = ex/sin3(x); c′2(x) = cos(x)/sin3(x);

c′1(x) = (-sin(x)/cos(x))*(cos(x)/sin3(x)) = -1/sin2(x);

c2(x) = ∫( (cos(x)/sin3(x))dx) = ∫(d(sin(x))/sin3(x)) = -1/(2sin2(x) +c2; c1(x) = ctg(x) +c1;

yо.н. = (cos(x)/sin(x)+c1)* excos(x) + (-1/(2sin2(x))+c2)*exsin(x) =

=(cos2(x)*ex)/sin(x) +c1excos(x)-ex/(2sin(x))+c2exsin(x) =

=(2cos2(x)-1)*ex)/sinx + c1excosx +c2exsinx =(cos(2x) *ex)/sin(x)+c1excosx+c2exsinx Ответ: (cos(2x) *ex)/sin(x)+c1excosx+c2exsinx

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Решённые билеты экзамена

#
04.03.2014944.04 Кб131теория.pdf
#
04.03.20141.59 Mб127хз.pdf