Р Дано: ,. ; ешение:

Кинетическая энергия тела в случае плоского движения . Учитывая связь между линейной скоростью движения центра масс и угловой скоростью , получим , где радиус катящегося тела. Пусть радиус обруча, тогда .

Следовательно, .

Пусть радиус основания цилиндра, тогда .

Следовательно, .

Ответ: , .

4.4. Работа сил при вращательном движении

Пусть сила , вызывающая вращение тела вокруг точки , приложена в точке В, находящейся на расстоянии от точки (рис. 4.4.1).

Обозначим угол между вектором силы и радиус-вектором , проведенном из точки вращения в точку приложения силы. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силы совершает перемещение . Элементарная работа силы равна: , где проекция силы на направление перемещения. Учитывая, что , получим .

Кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой вращения O называется плечом силы l. Из рис. 4.4.1 видно, что . Таким образом,

. (4.4.1)

Физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки вращения в точку приложения силы, на силу , называется моментом силы относительно неподвижной точки O:

.

Момент силы относительно неподвижной точки – псевдовектор. Его направление совпадает с направлением поступательного движения острия буравчика при вращении рукоятки от к (рис. 4.4.2). Модуль момента силы равен . Учитывая это, можно записать .

Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

. (4.4.2)

Примечание. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то вводят понятие момента силы относительно оси. Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки O на данной оси (рис. 4.4.3).

Отметим, что значение М_z не зависит от выбора положения точки O на оси вращения. Если ось вращения совпадает с направлением вектора , то момент силы представляют в виде вектора, совпадающего с осью: .

4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии . Поскольку , то или .

Учитывая, что , получим . Следовательно, момент силы,

действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Если ось вращения совпадает со свободной осью (см. 7.7), то имеет место векторное равенство

. (4.5.1)

Это равенство представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Пример 4.5.1. Тонкий стержень длиной и массой вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением . Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Определить момент силы, действующий на стержень.