§ Дифференциальные уравнения первого порядка

Изучение теории дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения – с уравнения первого порядка.

1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.

Определение 1. Уравнение вида

F(x,y,y’)=0 (1)

Где х – независимая переменная, у – искомая функция, у’ – ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у’ , то его можно записать в виде

y’=f(x,y) (2)

Уравнение (2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Мы будем рассматривать именно такие уравнения.

В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде dy/dx=f(x,y) или в виде f(x,y)dx-dy=0 , являющимся частным случаем более общего уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, (3)

Где P(x,y) и Q(x,y) – известные функции . Уравнение в симметричной форме (3)удобно тем, что переменные х,у в нем равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (2) и (3)

y’=xey , y’=(yln(x))/x, y’=x+y, xdx+ydy=0

2. Решение уравнения. Задача Коши

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так например, функция у=х3 является решением уравнения 3y-xy’=0 т.е. при подстановке в уравнение обращает его в тождество: 3х3 –х3х2 =0.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Возникает вопрос, при каких условиях уравнение (2) имеет решение. Ответ дает теорема Коши, называемая теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2) и является основной в теории дифференциальных уравнений.

Теорема 15,1. (теорема Коши)

Если в уравнении y’=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная y’y определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, то какова бы ни была внутренняя точка (x0,y0) области G, существует единственное решение у=(х) данного уравнения, удовлетворяющее условию

y=y0приx=x0(4)

теорема принимается без доказательства.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x0,y0)областиGпроходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в областиGуравнение (2) имеет бесконечное число различных решений.

Условия (4), в силу которых функция у=(х)принимает заданное значениеу0в заданной точкех0, называетсяначальными условиямирешения и записывается обычно так:

Отыскивая решение уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям (5), является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку(x0,y0) плоскостиОху.

Точки плоскости, в которых не выполняется условия теоремы Коши, называются особыми точками. Через каждую из них может проходить либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.

3. Общее и частное решения уравнения.

Дадим теперь два основных определения.

Определение 3. Общим решением уравнения (2) в некоторой области G называется функция y=(x,C), зависящая от х и одной произвольной постоянной С, если она является решением уравнения (2) при любом значении постоянной С и если при любых начальных условиях (5) таких, что (x0,y0)G, существует единственное значение постоянной С=С₀ такое, что функция y=(x,C) удовлетворяет данным начальным условиям: (x0,С0)= y0.

Определение 4. Частным решением уравнения (2) в некоторой области G называется функция у=(x0,С0), которая получается из общего решения y=(x,C) при обделенном значении постоянной С=С₀ .

Геометрически общее решение y=(x,C)представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решениеу=(x,С0)– одну интегральную кривыю этого семейства, проходящую через заданную точку(x0,y0).

Иногда начальные условия (5) называют условиями Коши, а частным решением – решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример 1.Рассмотрим уравнение

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям Коши, так как функция и

определены и непрерывны на всей плоскости Оху.

Легко проверить, что функция

где С – произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения во всей плоскости Оху.

Геометрически общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной С получается различные решения данного уравнения. Например, если С=0, то , если С=-1, то и т.д.

Для решения какой-нибудь задачи Коши, т.е. отыскания частного решения, зададим любые начальные условия :y=y0,x=x0. Подставляя эти значения в общее решение

вместо х и у, получим

откуда и соответствующее частное решение . Геометрически это означает, что из семейства кубических парабол выбрана одна парабола, проходящая через заданную точку(x0,y0).

Пример 2.Рассмотрим уравнениеy’= -y/x.

Данное уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка. Функции f(x,y)= -y/xиf’y(x,y)= -1/xнепрерывны прих.Следовательно, во всей плоскости Оху, кроме оси Оу, данное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси Оу, являются особыми.

Нетрудно проверить, что общим решением данного уравнения в областях уи уявляется функцияу=С/х,где С – произвольная постоянная. При различных значениях С: С=1/2, С= -1, С=1, С=2 и т.д. получаются различные решения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, начальным условиям х₀=1,у₀=1.Имеем1=С/1. ОтсюдаС=1и искомое частное решениеу=1/х.

Геометрически общее решение данного уравнения – семейство гипербол у=С/х, каждая из которых изображает частное решение данного уравнения. Задавая начальные условиях₀=1,у₀=1 мы выделим ту гиперболу, которая проходит через точку (1:1) плоскости Оху.

Заметим, что через особые точки, лежащие на оси Оу, не проходит ни одна интегральная кривая.

4. Геометрический смысл уравнения.Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядкаy’=f(x,y)и пусть функцияу=(х)есть решение данного уравнения. График решения есть непрерывная интегральная кривая, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициентy’ касательной к интегральной кривой в каждой ее точке(х,у)равен значению в этой точке правой части уравненияf(x,y). Таким образом, уравнениеy’=f(x,y)устанавливает зависимость между координатами точки(х,у)и угловым коэффициентомy’касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Знаяхиу, мы можем указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке(х,у).

Сопоставим каждой точке (х,у)интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равенf(x,y). Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение y’=f(x,y)определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого уравнения есть интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точки.

Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые и по их форме определить решение уравнения.

Пример 3.Рассмотрим уравнениеy’=y/x.

Функция f(x,y)=y/xне определена прих=0, следовательно, поле направлений для данного уравнения можно построить на всей плоскости, кроме оси Оу.

В каждой точке (х,у) (х)угловой коэффициентy’касательной к интегральной кривой равенх/уи совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в точку (х,у). Очевидно, что интегральные кривые будут прямые у=Сх (С произвольная постоянная), т.е. направление этих прямых всюду совпадают с направлением поля.

Теперь перейдем к изучению методов нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка. Сразу, отметим, что общего метода нахождения решений не существует. Обычно рассматриваются отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой способ нахождения решения

5. Уравнения с разделяющими переменными.

Определение 5.Уравнение вида

Гдеf₁(x) и f₂(у) – непрерывные функции зависящие только от одного аргумента, называется диффенциальным уравнением с разделяющими переменными.

Для отыскания решения уравнения (6) нужно, как говорят, разделить в нем переменные. Для этого заменим в (6)y’ наdy/dx, разделим наf₂(у)(предполагаетсяf₂(у)0) и умножая наdx. Тогда уравнение (6) преобразуется в уравнение

В котором переменная х входит только в правую часть, а переменная у – только в левую ( в таком случае говорят, что переменные разделены).

Предполагая, что функция у=(х) является решением уравнением, и подставляя ее в (7), получим тождество. Интегрирование этого тождества дает соотношение

Где С – произвольная постоянная.

Соотношение (8) определяет неявным образом общее решение уравнения (6).

Пример 4.Решить уравнениеy’=y/x(сравните с примером 3).

Решение.Данное уравнение есть уравнение вида (6), где

F₁(x)=1/x , f₂(y)=y

Разделяя переменные получим dy/y=dx/x. Интегрируя, будем иметь dy/y=dx/x+ln|C₁|, C₁0, или ln|y|=ln|x|+ln| C₁|. Потенцируя, находим |y|=|C₁||x|,что эквивалентно уравнениюу= C₁х. Полагая C₁=С, окончательно получим

У=Сх(9)

-общее решение данного уравнения, где С – произвольная постоянная, которая может принимать как положительное, так и отрицательное значение, но С0. Заметим, однако, чтоу=0является решением уравнения , оно было потеряно при делении на у. Это решение можно включить в (9), если считать, что постоянная С принимает значения С=0. Геометрически общее решение (9) представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат.

Пусть требование выделить из общего решения (9) частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: х₀=1,у₀=1. Подставляя эти значения в общее решение (9) вместо х и у, получим 2=с*1, отсюда с=2. Таким образом, искомое частное решениеу=2х.

6. Линейные уравнения.

Определение 6.Уравнение вида

y’=p(x)y=f(x), (10)

где р(х) и f(x) – непрерывные функции, называемые линейно дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция у и ее первая y’ производная входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени.

Если f(x)=0, то уравнение (10) называется линейно однородным уравнением. Еслиf(x)0, то уравнение (10) называется линейно неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (10) может быть применен так называемый метод вариации постоянной. Сначала находим общее решение линейного однородного уравнения

y’+p(x)y=0(11)

соответствующего данному уравнению (10). Уравнение (11) – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

dy/y= -p(x)dx, ln|y|= -p(x)dx+ln|C₁|.

Отсюда потенцируя, находим общее решение уравнения (11):

y= C₁e^{-  p(x)dx}

или

y=Ce ^{-  p(x)dx} (12)

где С=C₁ – произвольная постоянная.

Теперь с помощью (12) найдем оющее решение линейного неоднородного уравнения (10). Будем искать общее решение уравнения (10) в виде (12), где С будем считать не постоянной, а функцией от х (в этом смысл метода)

y=C(х)e ^{-  p(x)dx} (13)

Где С(х) – новая неизвестная функция от х. Чтобы найти функцию С(х) и тем самым решение а виде (13), подставим функцию (13) в уравнение (10). Получим

C’(х)e ^{-  p(x)dx} - C(x)p(x)e ^{-  p(x)dx} +p(x)C(x)e ^{-  p(x)dx} = f(x)

или

C’(x)=f(x) e ^{ p(x)dx} (14)

Чтобы соотношение (13) было решением уравнения 10 очевидно, функция С(х)должна удовлетворять уравнению 14. Интегрируя его, находим

С(х)=f(x)e ^{ p(x)dx} dx+ C₁

где C₁- произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение в соотношение 13, получаем общее решение линейного уравнения 10:

С(х)= C₁ e ^{-  p(x)dx}+ e ^{-  p(x)dx}f(x)e ^{ p(x)dx} dx. (15)

заметим, что при решении конкретных примеров проще повторять каждый раз все приведенные выше выкладки, чем пользоваться громоздкой формулой 15.

Пример 5.Найти общее решение уравненияy’+3y= e^2x

Решение.Данное уравнение является линейным. Здесьр(х)=3. f(x)= e^2x.Решаем сначала соответствующее однородное уравнениеy’+3y=0разделяя переменныеdy/y= -3dxи интегрируя находим

Ln|y|= -3x+ln|C₁|, y= C₁ e^{- 3x} =Ce^{- 3x}

Имеем общее решение данного уравнения в виде у=С(х)e^{- 3x}. Дифференцируя, находиму’=С’(х)e^{- 3x} – 3C(x)e^{- 3x} . Подставляя в данное выражение для у и у’, получаем

С’(х)e^{- 3x} =e^2x, c’(x)=e^5x, dC=e^5x dx,

Откуда С(х)=1/е^3x +C₂, гдеC₂- произвольная постоянная. Следовательно общее решение данного уравнения имеет вид

у=С(х) e^{- 3x}=(1/5е^5x+C₂) e^{- 3x}, у=1/5е^2x C₂ e^{- 3x}

7. Уравнение в полных дифференциалах.

Определение 7.Уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (16)

Где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x,y) в некоторой области G, называется уравнением в полных дифференциалах.

Если уравнение (16) является уравнением в полных дифференциалах то его можно записать следующим образом:

dF(x,y)=0

Где F(x,y) - такая функция, чтоdF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Отсюда следует, что общее решение уравнения 16 в неявном виде определяется уравнением

F(x,y)=C

Где С – произвольная постоянная. Действительно, если у=(х)является решением уравнения 16, тоdF(x,(x))=0т.е.F(x,(x))=C, и наоборот, для любой функцииу=(х), обращающей в тождество уравнениеF(x,y)=CполучимdF(x,(x))=0т.е.y=(x)– решение уравнения 16.

Таким образом, нахождение решения уравнения 16 сводится к отысканию такой функции F(x,y)дифференциал которой равенP(x,y)dx+Q(x,y)dy.

Как известно, для того чтобы выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dyбыло полным дифференциалом некоторой функцииF(x,y)необходимо и достаточно, чтобы

дP/дy=дQ/дx (17)

Допустим, что условие 17 выполнено. Тогда существует функцияF(x,y)такая, что

Отсюда

Из соотношения дF/дх=Р(х,у)находим

F(x,y)=P(x,y)dx+C(y) (19)

Где С(у) – произвольная функция от у. Теперь подберем функцию С(у) так, чтобы выполнялось второе из соотношений 18 для этого продифференцируем найденную функциюF(x,y) по у и результат прировняемQ(x,y):

Из полученного уравнения 20 определяем C’(y) и интегрируя находим С(у). Подставляя найденную функцию С(у) в соотношение 19, получаем в неявном виде общее решение уравнения 16.

Чтобы выделить из решения частное, удовлетворяющее начальным условиям х₀=х,у₀=у надо в общем уравненииF(x,y)=Cх и у заменить начальными условиями. ТогдаС=F(х₀,у₀), и F(x,y)= F(х₀,у₀) будет искомым частным решением.

Пример 6.Найти общее решение уравнения(х+у+1)dx+(x-y²+3)dy=0и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиямх₀=1 у₀=0.

Решение.ЗдесьP(x,y)=x+y+1 ,Q(x,y)= x-y²+3. Так как

д(х+у+1)/ду=1=д(x-y²+3)дх

то выражение (х+у+1)dx+( x-y²+3)dyявляется полным дифференциалом некоторой функции F(x,y)

Имеем

Имеем функцию С(у) по формуле 20

Подставляя найденное С(у) в 21 получаем

Данное уравнение принимает видdF(x,y)=0, а его частное решение определяется уравнением

Объединяя произвольные постоянные С₁С₂в одну, получаем окончательное уравнение, определяющее неявным образом общее решение исходного дифференциального уравнения:

Найдем теперь значение постоянной С₃при котором частное решение удовлетворяет заданным начальным условиям: 3*1+6*1*0+6*1-2*0+18*0=С₃отсюда С₃и искомое частное решение определяется уравнением