Р Дано: , , ,. Ешение:

Момент инерции системы (рис. 4.2.3) складывается из моментов инерции шаров и момента инерции стержня. Ось вращения не проходит через центр масс шаров, следовательно, для нахождения момента инерции каждого шара необходимо применить теорему Штейнера: .

Ось вращения проходит через центр масс стержня, следовательно, . Таким образом, искомый момент инерции системы равен

.

Ответ: .

Пример 4.2.4. Имеется диск диаметром и массой . В диске вырезали круглое отверстие диаметром , центр которого находится на расстоянии от центра диска. Найти момент инерции полученной фигуры относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно к его плоскости.

Р Дано: ,,, . Ешение:

Момент инерции фигуры равен , где момент инерции сплошного диска; момент инерции вырезанной части. Ось вращения проходит через центр масс диска (рис. 4.2.4), следовательно, .

Ось вращения не проходит через центр масс вырезанной части, следовательно, по теореме Штейнера , где масса вырезанной части диска. Но , где поверхностная плотность, площадь диска, площадь вырезанной части. Учитывая, что , а , масса вырезанной части .

Следовательно, момент инерции вырезанной части , и момент инерции фигуры равен .

Ответ: .

4.3. Кинетическая энергия вращающегося тела

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси против часовой стрелки с угловой скоростью (рис.4.3.1.) Вектор угловой скорости направлен по оси вверх.

Мысленно разобьем тело на бесконечно малые элементы, имеющие элементарные массы и находящиеся на расстоянии до оси вращения соответственно. При вращении элементарные массы будут иметь различные линейные скорости , но угловая скорость их вращения будет одинакова: .

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий элементов:

,

где момент инерции тела относительно оси .

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

. (4.3.1)

Из сравнения этой формулы с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции – мера

инертности тела при вращательном движении (чем больше момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной угловой скорости).

Если тело массой катится по горизонтальной поверхности (такое движение называется плоским), энергия движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

, (4.3.2)

где скорость поступательного движения центра масс тела, момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Пример 4.3.1. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу , катятся без скольжения с одинаковой скоростью . Найти кинетические энергии этих тел.