5.6. Затухающие колебания. Автоколебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В наиболее часто встречающихся случаях сила сопротивления пропорциональна величине скорости: , где - коэффициент сопротивления.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы – идеализированные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейной системой является, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука).

Запишем уравнение, описывающее колебания пружинного маятника при наличии сил сопротивления (второй закон Ньютона):

_.

Обозначим , где коэффициент затухания и ,

где циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (собственная частота).

Тогда дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы запишется следующим образом:

. (5.6.1)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

, (5.6.2)

где начальная амплитуда, частота затухающих колебаний.

Затухающие колебания – это пример квазипериодического процесса (их можно рассматривать как условно гармонические с частотой и амплитудой ). Затухание нарушает периодичность колебаний и, строго говоря, к ним не применимо понятие периода или частоты. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 5.6.1). Тогда период затухающих колебаний равен:

. (5.6.3)

В

Т

ыясним физический смысл коэффициента затухания . Для этого найдем время , за которое амплитуда уменьшается в е раз: ,

Рис. 5.6.1. Затухающие колебания

следовательно .

Таким образом, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз и, следовательно, определяет скорость затухания. Этот промежуток времени называют временем релаксации.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период , называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

, (5.6.4)

где число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента затухания равна:

. (5.6.5)

Учитывая, что для пружинного маятника , а , его добротность равна .

Полная механическая энергия затухающих колебаний изменяется со временем по закону:

, (5.6.6)

где начальная энергия.

Отметим, что при увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при (критический режим) обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. Колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю при . Такой процесс называется апериодическим.

Условие критического режима для пружинного маятника , откуда

.

Пример 5.6.1. Гиря массой подвешена к спиральной пружине жесткостью и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний . Определить число полных колебаний, которые должна совершать гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. За какое время произойдет это уменьшение?

Дано:

,

,

,

.

;

Решение:

Гиря на пружине (пружинный маятник) совершает затухающие колебания. Закон убывания амплитуды имеет вид: . За время амплитуда уменьшается в раз, следовательно , откуда .

Коэффициент затухания связан с логарифмическим декрементом затухания соотношением , где период колебаний. Следовательно, . За время система совершит полных колебаний.

Период затухающих колебаний , где . Подставим значение периода в формулу логарифмического декремента затухания: и выразим . Следовательно, искомое время .

Ответ: .