1. Разработка математической модели задачи

Целевая функция данной задачи имеет следующий вид:

c_ij — длина ребра ij

n — число вершин, n=8

x_ij=1, если i, j — смежны

=0, если i, j — не смежны

10. Сетевое планирование. Правила построения сетевых моделей. Параметры построения сетевых моделей (ранний/поздний срок свершения j-го события, ранний срок начала/окончания работы, поздний срок начала/окончания работы, полный резерв времени работы, полный резерв времени пути). Методы расчета параметров сетевых моделей. Сетевое планирование основано на моделировании процесса с помощью сетевого графика и представляет собой совокупность расчетных методов, организационных и контрольных мероприятий по планированию и управлению комплексом работ.

Сетевая модель представляет собой план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ, представленный графически в виде сетевого графика.

С математической точки зрения сетевой график — это связный взвешенный ориентированный граф без петель и контуров.

Сетевые графики составляются на начальном этапе планирования. В начале планируемый процесс разбивается на отдельные работы, составляется перечень работ и событий, продумываются их логические связи и последовательность выполнения, работы закрепляются за ответственными исполнителями.

Затем составляется сетевой график. После упорядочения сетевого графика рассчитываются параметры события и работ, определяются резервы времени и критический путь.

Наконец проводятся анализ и оптимизация сетевого графика, который при необходимости вычерчивается заново с пересчетами параметров событий и работ.

При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил:

1). На графике рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие (как в теории потоков в сетях)

2). В сетевом графике не должно быть «хвостовых» событий, которым не предшествует хотя бы одна работа, за исключением первого

3). В сетевом графике не должно быть «тупиковых» событий, т. е. событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением завершающего события

4). В сетевом графике не должно быть циклов, контуров и петель

5). Любые два события должны быть связаны не более чем одной работой, т. е. не должно быть параллельно выполняемых работ

Задача.

По приведенной в таблице последовательности работ построить сеть и определить необходимые параметры работ.

Решение:

По данной таблице строим сетевой график (сеть)

Имея сеть работ, можно посчитать время выполнения всего проекта и различных его частей, состоящих из разного набора работ.

Сначала определяем минимальное время, за которое можно выполнить все работы комплекса. Для этого найдем продолжительность t(μ_i) всех полных путей μ_i.

Путь называется полным, если он начинается в источнике (x₁) и заканчивается в стоке (x₆).

μ₁: x₁→x₂→x₅→x₆

μ₂: x₁→x₃→x₅→x₆

μ₃: x₁→x₄→x₅→x₆

μ₄: x₁→x₃→x₄→x₅→x₆

Отыщем их продолжительности:

t(μ₁): 3+5+8=16 (дн.)

t(μ₂): 6+9+8=23 (дн.)

t(μ₃): 4+6+8=18 (дн.)

t(μ₄): 6+1+6+8=21 (дн.)

Наиболее продолжительный путь μ₂, который называют критическим. Он определяет минимальное время выполнения всех работ комплекса.

Минимальное время называют критическим сроком и обозначают t_кр.=23 дн.

Все работы и события, лежащие на критическом пути, называются критическими, все остальные — некритическими.

Задержка любой критической работы вызывает задержку выполнения всего комплекса работ. Следовательно, чтобы уменьшить время выполнения всего проекта, надо сократить сроки критических работ. Некритические работы допускают некоторое запаздывание из выполнения без нарушения критического срока. Это запаздывание измеряется резервом времени событий и работ.

Свершением события называется момент, к которому заканчиваются все входящие в него работы и может быть начата любая выходящая работа.

Некоторые события можно совершать в разные моменты, т. е. варьировать свершение этих событий. Напр., событие «x₂» может свершиться через 3 дня (по окончании работы «a₁»), но может наступить и позже на срок до 7 дней, поскольку на пути μ₁, где лежит это событие, есть резерв времени

t_кр.-t(μ₁)=23-16=7 (дн.)

Поэтому для событий различают ранний и поздний срок свершения.

Ранним сроком t_р(x_j) свершения события x_j называется самый ранний момент времени, к которому завершатся все работы, предшествующие этому событию. Рассчитывается он по формуле:

где U_j⁺ — множество работ, входящих в x_j событие; t_р(x_j) — ранний срок свершения начального события работы (x_i, x_j); t(x_i, x_j) — продолжительность работы (x_i, x_j).

Поздним сроком t_п(x_i) свершения события x_i называется самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. В нашем случае t_п(x₆)=23 дн.

Чтобы не нарушался критический срок, событие x₅ должно произойти, в крайнем случае, на 8 дней раньше, т. е.

t_п(x₅)=23-8=15

Аналогично t_п(x₂)=15-5=10

Т. о., поздние сроки свершения событий рассчитываются по формуле:

где U_i^- — множество работ, выходящих из x_i события; t_п(x_j) — поздний срок свершения конечного события работы (x_i, x_j).

Разность между поздним и ранним сроками свершения события x_i составляет резерв времени R(x_i) этого события, т. е.

R(x_i)=t_п(x_i)-t_р(x_i)

Резерв показывает на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение события x_i без изменения срока наступления итогового события «z».

У критических событий ранний и поздний сроки свершения совпадают, т. к. резерв времени у них равен 0.

Зная сроки свершения событий, можно найти ранние и поздние сроки начала и окончания работы (x_i, x_j).

t_рн(x_i, x_j)=t_р(x_i)

t_ро(x_i, x_j)=t_р(x_i)+t_п(x_i, x_j)

t_по(x_i, x_j)=t_п(x_j)

t_пн(x_i, x_j)=t_п(x_j)-t_п(x_i, x_j)

Для работ определяют два резерва времени: 1). Полный резерв времени работы — это максимальное количество времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая критический срок

R_п(x_i, x_j)=t_п(x_j)-t_р(x_i)-t_п(x_i, x_j)