1.3.2. Системы счисления

• Десятичная

• Двоичная

• Шестнадцатиричная

• Упражнение

Мир вычислений использует несколько систем счисления для представления данных. Пока десятичная система, также известная как система счисления с основанием 10 (base10), ближе людям, так как это – система счисления, используемая в быту, двоичная (base2) и шестнадцатиричная (base16) — основные системы счисления используемые в вычислениях.

Десятичная

Мы начнем обсуждение систем счисления с рассмотрения десятичной системы как примера позиционной системы счисления. Десятичная система счисления содержит десять значений — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9. Каждое число в десятичной системе счисления может быть разбито на цифры по их "порядку" (позиции) в числе. Рассмотрим, например, число 43,872, где 2 находится на его 0-й позиции, 7 находится на его первой, 8 — на второй, 3 — на третьей, и 4 — на четвертой позиции. Каждая позиция имеет значение, которое может быть представлено либо экспоненциальным, либо десятичным значением. Следующая таблица показывает экспоненциальное и десятичное представление для каждой позиции числа 43,872.

Порядок	4-е	3-е	2-е	1-е	0-е
Цифра	4	3	8	7	2
Экспоненциальное значение порядка	104	103	102	101	100
Десятичное значение порядка	10,000	1,000	100	10	1

Таблица 1. Экспоненциальное и десятичное соответствие позиции цифры в числе

Отметим, что экспоненциальные значения увеличиваются соответственно позиции цифры. Например, экспоненциальное значение 4-й позиции составляет 10⁴.

Чтобы определить значение числа, перемножают цифру в столбце со значением, которое представляет столбец. Следующая запись - простое вычисление для предыдущего примера.

4 × 10⁴ + 3 × 10³ + 8 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰ = 4 × 10,000 + 3 × 1000 + 8 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1 = 40,000 + 3000 + 800 + 70 + 2 = 43,872

Хотя выполнение этих вычислений на десятичных числах кажется тривиальным, это демонстрирует образец, или формулу, которая может использоваться для конвертации числа из любой системы счисления к десятичной. Иначе говоря,

d_p(b)^p + d_p-1(b)^p-1 + . . . + d₀(b)⁰

Где p — позиция, b — основание системы счисления, d_p — цифра на самой высокой позиции в числе, d_p-1 — следующая позиция в числе и так далее.

Используя пример числа, рассмотренный ранее, получим d_p = 4, d_p-1 = 3, b = 10, и p = 4.

4 × 10⁴ + 3 × 10³ + 8 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰ = 43,872

Формулу, приведенную выше, можно использовать для расчетов десятичного числового значения любого числа в заданной базе. Ниже показан пример расчета для конвертации числа 21₄ (основание системы счисления 4) в десятичное значение.

Позиция	1st	0th
Цифра	2	1
Экспоненциальное значение позиции	41	40
Десятичное значение позиции	4	1

Таблица 2. Экспоненциальное и десятичное значения позиции цифр в числе

2(4)¹ + 1(4)⁰ = 2× 4 + 1 × 1 = 8 + 1 = 9

До сих пор мы обсуждали преобразование чисел в десятичные. Важно также уметь конвертировать числа из десятичной в другие системы счисления. Используя систему base₄, сконвертируем число 89 из десятичной формы в число с основанием системы счисления 4 (base₄).

Сначала, найдем значение p, где 4^p < = 89 < 4^p+1. В этом случае case p = 3. p — номер наивысшей позиции.

Теперь заполним следующую таблицу:

Позиция	3	2	1	0
Экспоненциальное значение порядка	43	42	41	40
Десятичное значение порядка	64	16	4	1
Вычисление	89 ÷ 64	25 ÷ 16	9 ÷ 4	1 ÷ 1
Результат	1	1	2	1
Остаток	25	9	1	0

Таблица 3. Преобразование чисел из системы base10 в base4

Следовательно, 89₁₀ = 1121₄.

Теперь рассмотрим двоичную и шестнадцатиричную систему более подробно.

Двоичная

Поскольку все системы счисления преобразуются одинаково, вы уже имеете все необходимое, чтобы преобразовывать число в двоичный код и обратно. Давайте рассмотрим преобразование из двоичного в десятичное числа, которое в двоичной форме записывается как 10110110.

Наивысшая позиция p, получена подсчетом числа позиций в двоичном коде, начиная с нуля.

1 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 1 × 128 + 0 × 64 + 1 × 32 + 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1 = 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 182

Например, в числе 100110 наибольшая позиция — 2^p, где p = 5. Поскольку двоичная система самая простая система счисления для преобразования в десятичную, она поможет нам позже, когда мы будем преобразовывать шестнадцатиричные числа.

Обратите внимание, что двоичная система использует больше цифр для выражения значения числа чем десятичная. Например, число 99 — в десятичном виде это 1100011 — в двоичном виде. Компьютерные профессионалы заимствовали шестнадцатиричное представление как стенографию для двоичного, чтобы представить двоичные значения в краткой форме.

Шестнадцатиричная

Шестнадцатиричная (base16), по всей вероятности та система счисления, с которой вы будете работать. В современной десятичной системе набор арабских цифр 0-9 необходимо дополнить дополнительными значениями для представления десятичных эквивалентов — 10, 11, 12, 13, 14, и 15. Вместо изобретения новых символов для представления этих чисел, используются буквы A-F. Шестнадцатиричная система представляется набором цифр 0-F. Используются как буквы нижнего, так и верхнего регистра (большие и маленькие). В этом курсе мы будем использовать верхний регистр A-F. Шестнадцатиричный формат, однако, обычно не представляется добавлением индекса 16 к цифре обозначающей число. Вместо этого используются два различных формата для представления шестнадцатиричных чисел: с добавлением вначале 0x или с добавлением в конце h. Мы будем использовать 0x, чтобы обозначать шестнадцатиричные числа.

Позиция	4	3	2	1	0
Экспоненциальное значение позиции	164	163	162	161	160
Десятичное значение позиции	65,536	4096	256	16	1

Таблица 4. Экспоненциальное и десятичное представление цифровой позиции числа

Есть два метода преобразования шестнадцатиричного числа в десятичное. При прямом преобразовании используется следующая формула

_p(b)^p + d_p-1(b)^p-1 + . . . + d₀(b)⁰

Где d_p – цифра на самой высокой позиции в числе, и d_p-1 — следующая цифра на следующей позиции и так далее. b — база и p — значение самой высокой позиции.

Преобразование выглядит так:

4 × 16³ + A × 16² + 3 × 16¹ + F × 16⁰ = 4 × 4096 + 10 × 256 + 3 × 16 + 15 × 1 = 16,384 + 2560 + 48 + 15 = 19,007

Этот метод особенно полезен для больших шестнадцатиричных чисел. Однако, для небольших чисел из одной или двух цифр, часто быстрее преобразовать шестнадцатиричное число в двоичное перед превращением его в десятичное. Шестнадцатиричный формат поддерживает связь с двоичным, так как он – производный от системы base2. Каждая шестнадцатиричная цифра представляет четыре двоичных разряда. Таблица ниже показывает взаимосвязь между двоичным, шестнадцатиричным, и десятичным форматами для 0x0-0xF.

Десятичный	Двоичный	Шестнадцатиричный
0	0000	0x0
1	0001	0x1
2	0010	0x2
3	0011	0x3
4	0100	0x4
5	0101	0x5
6	0110	0x6
7	0111	0x7
8	1000	0x8
9	1001	0x9
10	1010	0xA
11	1011	0xB
12	1100	0xC
13	1101	0xD
14	1110	0xE
15	1111	0xF

Таблица 5. Десятичные, двоичные и шестнадцатиричные преобразования

Давайте преобразуем 0x3B к десятичному виду через двоичный. Первый шаг – выяснить, что отдельное шестнадцатиричное число представляет собой в двоичном виде. Заменим шестнадцатиричное число двоичным числом. Так, 0x3B становится 00111011. Как вы помните из предыдущего раздела о двоичном счислении, преобразование числа от двоичного к десятичному намного проще, чем в другие системы, поскольку умножение двоичных разрядов на 0 и 1 — простая операция.

0x3B= 00111011₂= 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59

Байт данных (восемь битов) может быть записан в виде двух шестнадцатиричных цифр. Например, символ "N" в расширенном коде ASCII имеет двоичное представление 01001110. Если мы записываем его как две группы из четырех битов каждый, мы получаем 0100.1110. Используя таблицу 5 (выше), мы находим, что 0100 составляет 0x4 и 1110 — 0xE. Поэтому, соответствующий шестнадцатиричный для 0100.1110 есть 0x4E.

Устанавливая или поддерживая компьютерную систему, вы будете иногда сталкиваться с шестнадцатиричными числами как представлениями адресов памяти, сетевых адресов или других величин относящихся к аппаратному обеспечению. Вы, возможно, сталкиваетесь с ними в контексте операционной системы при возникновении сбоев и появлении сообщений об ошибках.

Упражнение

Вы можете поэкспериментировать с преобразованиями между двоичным, десятичным и шестнадцатиричным представлениями, используя приложение Microsoft Calculator.

В операционной системе Windows, нажав кнопку Start, выберете Programs, (Программы) затем Accessories (Принадлежности), и затем Calculator (Калькулятор). Для выполнения этого задания, вам нужно в меню View (Просмотр) выбрать Scientific (Научный).  Чтобы использовать калькулятор для преобразования данных, нажмите кнопку Dec, чтобы перевести калькулятор в десятичный режим, наберите число, а затем нажмите кнопку Hex, чтобы превратить число в шестнадцатиричное. Вы можете также преобразовывать из шестнадцатиричного к десятичному; клавиши A-F доступны каждый раз когда вы находитесь в шестнадцатиричном режиме. Каким будет шестнадцатиричное представление числа 255? Каков десятичный эквивалент числа 0x4D2?