§7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли
Поставим в соответствие системе (20) две матрицы
и 
.
Матрица
называется основной
матрицей системы,
называется расширенной
матрицей системы
(20). Элементарным преобразованиям над
(20) отвечают соответствующие преобразования
над строками матриц
и
.
Матрица, получаемая из данной путём
элементарных преобразований над
строками, а также перестановкой столбцов,
называется матрицей,
эквивалентной данной.
Основные матрицы систем (21) и (22) называются
соответственно ступенчатой
и треугольной.
Строка матрицы
называется нулевой,
если все её элементы равны нулю, и
ненулевой,
если она содержит хотя бы один отличный
от нуля элемент. Например, если
,
,
…,
,
,
то первая строка матрицы
будет нулевой, а первая строка матрицы
будет ненулевой.
Ранг матрицы
– это такое число
,
что по крайней мере один определитель
порядка
,
получаемый из этой матрицы при удалении
некоторого числа строк и (или) столбцов,
отличен от нуля, а все определители
-го
порядка равны нулю. Без доказательства
отметим, что при
данное
определение ранга матрицы равносильно
другому, используемому здесь определению:
рангом матрицы называется число
ненулевых строк в эквивалентной
треугольной или ступенчатой матрице.
Ясно, что для определения ранга матрицы
сначала её нужно преобразовать методом
Гаусса и привести к треугольной или
ступенчатой матрице, эквивалентной
исходной.
Пусть система
уравнений (20) преобразована методом
Гаусса и приведена либо к системе (21),
либо к системе (22). При этих преобразованиях
происходят соответствующие преобразования
основной и расширенной матриц системы
(20). Совместность системы (20) равносильна
отсутствию в преобразованной системе
(21) или (22) противоречивого соотношения
(здесь равные нулю коэффициенты
образовали бы нулевую строку основной
матрицы преобразованной системы, а эти
же коэффициенты и число
- ненулевую строку расширенной матрицы
этой системы). Это в свою очередь
равносильно совпадению числа ненулевых
строк основной и расширенной матриц
преобразованной системы (21) или (22). А
это последнее, в свою очередь, равносильно
совпадению рангов основной и расширенной
матриц исходной системы. Итак, справедлива
Теорема Кронекера – Капелли. Если система уравнений совместна, то ранги её основной и расширенной матриц равны, и наоборот, если ранги основной и расширенной матриц равны, то система совместна.
§8. Однородные системы
Система уравнений
(20) называется
однородной,
если все ее свободные члены равны нулю:
.
Ясно, что однородная система всегда
совместна, так как имеет очевидное
тривиальное нулевое решение
.
Если среди чисел
имеется хотя бы одно, отличное от нуля,
то такое решение системы называется
ненулевым.
Пусть в однородной
системе (20) число уравнений меньше числа
неизвестных (
).
Такая система методом Гаусса приведётся
к ступенчатой системе, так как к
треугольной системе мы можем прийти,
лишь когда
.
Но ступенчатая система имеет бесконечное
множество решений, среди которых
обязательно найдётся ненулевое.
Например, в системе (21) ненулевое решение
получим, взяв
.
Таким образом, справедлива
Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевые решения.
Рассмотрим случай,
когда в однородной системе (20)
.
Для такой системы может быть доказана
Теорема 2.
Если
однородная система из
уравнений с
неизвестными имеет ненулевые решения,
то её определитель равен нулю, и наоборот,
если определитель указанной однородной
системы равен нулю, то эта система имеет
ненулевые решения.
Доказательство.
Докажем сначала первую часть теоремы:
дана однородная система (20), в которой
и
,
и она имеет ненулевые решения; нужно
доказать, что её определитель равен
нулю.
Предположим
противное, т. е. что её определитель
.
Тогда решение этой системы из
уравнений с
неизвестными можем записать по формулам
Крамера
.
Это будет единственное решение. Но все
определители
содержат столбец свободных членов,
состоящий из одних нулей, поэтому все
они равны нулю. Следовательно, по
формулам Крамера получим единственное
решение рассматриваемой однородной
системы
– нулевое решение. Это противоречит
условию теоремы, согласно которому
система имеет ненулевое решение,
следовательно, предположение, что
,
должно быть отброшено.
Докажем вторую
часть теоремы: определитель однородной
системы (20)
уравнений с
неизвестными равен нулю; нужно доказать,
что система имеет ненулевые решения.
Заданную однородную систему преобразуем методом Гаусса, при этом придём к ступенчатой системе. Если бы пришли к треугольной системе, то, как было показано раньше, пришли бы к заключению, что определитель исходной системы не равен нулю, что не согласуется с условием теоремы. Итак, система обязательно приводится к ступенчатой. Последняя имеет бесконечное множество решений, среди которых найдутся и ненулевые, поэтому исходная система имеет ненулевые решения. Теорема доказана.
При решении однородной системы целесообразно преобразовать её методом Гаусса и привести к ступенчатой или треугольной системе.