§2. Декартовы координаты. Полярные координаты

Декартовы координаты. Пусть в пространстве заданы три взаимно перпендикулярные числовые оси и с общим началом O и общим масштабом. Будем говорить, что в пространстве введена система координат Oxyz, а указанные числовые оси называть осями координат. Пространство обозначается R₃. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными и обозначаются и .

Пусть М – произвольная точка пространства, , , – проекции точки М на оси и , т. е. это точки пересечения соответственно с осями и плоскостей, проведённых через точку М перпендикулярно к этим осям (рис. 2).

Пусть – координаты точек , , на соответствующих осях. Эти числа называются координатами точки М в пространстве При этом пишут , где – абсцисса, – ордината, – аппликата. Таким образом, каждой точке пространства отвечают три числа – координаты этой точки. Ясно, что и наоборот каждой тройке чисел в указанном пространстве отвечает определенная точка.

Оси координат и на плоскости образуют систему координат Пусть , – проекции точки на оси и (рис. 2). Они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки на оси и соответственно. Числа и являются координатами точки на плоскости. Этот факт записывают в виде Плоскость указанной системы координат обозначают . Описанные выше системы координат в пространстве и на плоскости называют прямоугольными декартовыми. Система координат, изображенная на рис. 2, называется правой.

Полярные координаты на плоскости. Возьмем на плоскости положительную полуось , т. е. ту часть оси, где неотрицателен. Пусть – произвольная точка плоскости и – расстояние от точки до начала – угол, образованный отрезком с осью , отсчитываемый от оси в направлении против хода часовой стрелки, причём (рис. 3). Числа и называются полярными координатами точки , причем – полярный радиус, – полярный угол, – полюс, положительная полуось – полярная ось.

Пусть – декартова система координат в рассматриваемой плоскости, – декартовы координаты точки А. Из рис. 3 видно, что . Эти формулы выражают декартовы координаты точки через её полярные координаты.

§3. Векторы, линейные операции над ними

Скалярной называется величина, которая полностью определяется своим численным значением. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объём, масса.

Вектором называется направленный отрезок прямой, соединяющий две точки в пространстве (рис. 4). Если А и В – начало и конец вектора, то он обозначается или .

Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается или АВ; или . Если начало вектора совпадает с концом, то вектор называется нулевым и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы и называют равными (в этом случае пишут ), если:

• равны их длины ();

• они коллинеарны;

• сонаправлены.

Следовательно, при параллельном переносе вектора получим вектор, равный исходному.

Сложение векторов. Даны векторы и . Вектор перенесём параллельно самому себе и поместим его начало в конец вектора . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , называется суммой векторов и и обозначается +. Ясно, что сумму двух векторов можно получить иначе: построить , с началом в общей точке, затем достроить на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм. Тогда его диагональ, выходящая из общего начала, будет суммой исходных векторов (см. рис. 5).

Указанный метод легко распространяется на случай трёх и большего числа векторов: от конца первого строим второй, от конца второго – третий и т. д., тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом последнего, и будет суммой рассматриваемых векторов (рис. 6).

Свойства сложения векторов:

• + = + ;

• + (+ ) = ( + ) + ;

• + = .

Эти свойства проверяются с помощью построения.

Разность векторов. Даны векторы и . Построим эти векторы с началом в общей точке. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , называется разностью векторов , и обозначается (рис. 7). Из рисунка видно, что +()=.

Умножение вектора на число. Даны вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор = =, который:

• коллинеарен ;

• имеет длину || = ||||;

• направлен так же, как и , при , и противоположно – при

Свойства умножения вектора на число:

• () =  + ;

• ( + ) =  + ;

• ()=()=().

Эти свойства доказываются с помощью построения.

Приведем еще одно соотношение. Пусть даны вектор и – вектор, который коллинеарен , направлен, как , и || = 1. Он называется единичным. Рассмотрим произведение || вектора на длину вектора . По определению это есть вектор, который:

• коллинеарен вектору , следовательно, и ;

• имеет длину, равную длине вектора , так как |||| = ||;

• направлен, как и как , поскольку множитель || – число положительное.

Таким образом, мы получили вектор, равный . Итак,

= || (1)