§18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр

П

Рис. 32

оверхностью второго порядка в пространстве называется поверхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат Здесь – действительные числа, называемые коэффициентами. В зависимости от коэффициентов это уравнение может определять поверхность или точку (например, уравнению отвечает точка ) или пару плоскостей (например, уравнению отвечает пара плоскостей и ), а также может не определять никакого множества точек (например, ). Рассмотрим частные виды поверхностей второго порядка.

Сфера с центром в точке и радиусом имеет уравнение где – заданные числа (см. рис. 32). Раскрыв скобки и перенеся число в левую часть, получим Нетрудно проверить, что уравнение второй степени относительно в котором коэффициенты при равны между собой, а члены с произведениями координат отсутствуют, представляет собой уравнение сферы (если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет поверхность).

Цилиндры второго порядка. Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому направлению и пересекающей данную линию. Последняя называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямая – образующей.

Пусть, например, образующие цилиндрической поверхности параллельны оси и направляющей служит эллипс (рис. 33) в плоскости с уравнением

. (57)

Э

Рис. 33

та поверхность называется эллиптическим цилиндром. Пусть – произвольная точка этого цилиндра, а точка – проекция на плоскость Ясно, что абсциссы и ординаты точек и совпадают. Так как точка лежит на эллипсе, то её координаты и удовлетворяют уравнению (57). Но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты и точки цилиндра. Значит, (57) есть уравнение цилиндра.

Итак, уравнение (57) на плоскости определяет эллипс, а в пространстве – эллиптический цилиндр с образующей, параллельной направляющей которого является указанный эллипс.

Изобразите самостоятельно гиперболический цилиндр с уравнением и образующей, параллельной оси а также параболический цилиндр с уравнением и образующей, параллельной оси

§19. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая уравнением

(58)

где – заданные положительные числа. Исследуем форму этой поверхности методом сечений.

При сечении поверхности (58) плоскостью ( – постоянная, ), проходящей через точку на оси параллельно плоскости получим кривую, которая определяется совокупностью двух уравнений

или

В первом уравнении перенесём вправо и поделим обе части уравнения на получим

Эта система уравнений определяет эллипс с полуосями и расположенный в плоскости При значения и очевидно, достигают своих наибольших значений и т. е. на плоскости получаем эллипс наибольших размеров. При значения и достигают наименьших значений и Это означает, что плоскости и имеют с эллипсоидом по одной общей точке и соответственно. При эллипсоид с плоскостью общих точек не имеет. Аналогичная картина будет при сечении эллипсоида плоскостью () и плоскостью ().

При имеем эллипсоид вращения (рис. 34). Эта поверх-ность получается при вращении вокруг оси эллипса расположен-ного в плоскости

§

Рис. 34

20. Конус

Конусом второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

(59)

где – заданные положительные числа (см. рис. 35). Исследовав форму этой поверхности, как и эллипсоида, методом сечений, получим, что при сечении плоскостью ( – постоянная) получается эллипс с полуосями и Очевидно, что при т. е. конус (59) имеет с плоскостью одну общую точку – начало координат. С уве-личением значения и увеличи-ваются. Покажем теперь, что при сечении поверхности (59) плоскостью с урав-нением ( – постоянная), прохо-дящей через получается пара прямых, проходящих через начало координат.

В самом деле, при таком сечении получается линия, определяемая системой уравнений

Заменим в первом уравнении на получим

Но первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений

и

Поэтому последняя система равносильна совокупности двух систем

и

Все уравнения в этих системах определяют плоскости, проходящие через начало координат. Значит, каждая система определяет в пространстве прямую, проходящую через начало координат. При получаем конус вращения (вокруг оси ).