§14. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 25). Обозначим эту постоянную , а фокусы – через и . Расстояние между ними . Ось Ox проведём через фокусы. Начало координат О возьмём в середине отрезка . Тогда фокусы имеют координаты , . Пусть – произвольная точка гиперболы, тогда по определению

Рис. 25

. (39)

Знак «+» берётся, когда левая часть положительна, а знак «-» – когда левая часть отрицательна. Расстояния и , как и раньше, выражаются формулами (36). Подставим (36) в (39):

. (40)

Получили уравнение гиперболы. Как видно из рис. 25, есть длина стороны треугольника , и она больше , поэтому – действительное число, которое будем считать положительным. Уравнение (40) упростим, убрав корни так же, как в уравнении эллипса. Получим каноническое уравнение гиперболы

(41)

Исследуем форму гиперболы, исходя из уравнения (41) (как и в случае эллипса). Так как (41) содержит и только во второй степени, то Ox и Oy являются осями симметрии гиперболы (аналогично случаю эллипса), поэтому точка пересечения этих осей – начало координат – центр симметрии гиперболы. Ясно, что для установления вида гиперболы достаточно рассмотреть картину в первой четверти плоскости, где и . Для таких значений , из уравнения (41) выразим и получим

. (42)

Эта формула выражает ординату точки гиперболы, абсцисса которой есть . При ордината , получим точку гиперболы. С увеличением абсциссы точки её ордината согласно (42) увеличивается. Точка уходит вправо, неограниченно поднимаясь вверх. Остальные части гиперболы строятся по симметрии.

Определим вид гиперболы, когда неограниченно увеличивается. Возьмём прямую с уравнением

(43)

проходящую через точки и Пусть – точка прямой (43), имеющая ту же абсциссу x, что и точка M гиперболы. Ординаты этих точек равны и , так как координаты этих точек удовлетворяют (43) и уравнению гиперболы (42). Разность между указанными ординатами равна расстоянию между точками и , следовательно,

.

Для положительных знаменатель с увеличением неограниченно увеличивается, поэтому дробь убывает. Таким образом, стремится к нулю, т. е. точка гиперболы приближается к точке прямой. В силу симметрии относительно такая же картина будет в третьей четверти плоскости.

Возьмём теперь прямую

. (44)

Она симметрична с прямой (43) относительно Ox, проходит через точку и через точку , симметричную с относительно Ox. В силу симметрии гиперболы относительно оси абсцисс ясно, что гипербола по отношению к прямой (44) расположена аналогично её расположению к прямой (43). Прямые (43) и (44) называются асимптотами.

При построении гиперболы целесообразно сначала начертить ее асимптоты. Точки и пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Расстояние между ними равно , называется действительной осью гиперболы; и называется мнимой осью.