3. Векторные диаграммы

Рис. 6.5. Изображение колебаний с помощью проекции вращающегося вектора

Во многих случаях удобно пользоваться векторным (гео­метр­и­ческим) представлением колебаний. Обратимся к рис. 6.5. Проекция вектора на ось x равна x = Аcos, где  - угол между вектором и осью. Если вектор равно­мерно вращается с угловой скоростью , то ки­нематическое уравнение для углового перемещения имеет вид  = t+₀, при этом проекция вектора изменяется по гармоническому закону с угловой частотой :

,

а б в

Рис. 6.6. Векторные диаграммы колебаний тока и напряжения для резистора (а), конденсатора (б), индуктивности (в)

где ₀ - начальный угол в момент t=0 (начальная фаза). Таким образом, гармоническое колебание геометрически изобра­жается в виде проекции вектора , имеющего модуль, равный амплитуде колебаний, и вращающегося с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний.

Если в цепи существуют несколько колебаний, то каждое изображается соответствующим вектором. Обычно эти векторы изображают в момент времени t=0. В качестве примера на рис. 6.6 изображены векторные диаграммы для колебаний тока и напряжения в цепях, содержащих активное сопротивление (а), емкость (б), индуктивность (в). Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90, поэтому соответствующий вектор повернут по часовой стрелке на такой же угол.

6.4. Переменный ток в rcl- цепи. Резонанс

а б

Рис. 6.7. Последовательная RCL цепь (а) и векторная диаграмма тока и напряжений (б)

Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор, конденсатор и катушку индуктивности (рис. 6.7а), можно выразить через амплитудные значения напряжения на от­дельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

При построении векторной диаграммы необходимо учиты­вать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий ам­плитуду напряжения , совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока . Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на /2 от колебаний силы тока, поэтому вектор напряжения на конденсаторе повернут относительно вектора тока на угол -90°. Коле­бания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на /2, поэтому вектор повернут относительно вектор на угол 90° (рис. 6.7б).

На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов , , , вращающихся с одинаковой угловой скоростью  против часовой стрелки. Мгно­венное значение напряжения на всей цепи равно сумме мгновен­ных напряжений u_R, u_C, u_L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов , , на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:

Из рис. 6.7б видно, что амплитуда напряжения на всей цепи равна:

, или ,

где R - активное сопротивление, X_C,=1/С и X_L =L  емкостное и индуктивное сопротивление контура соответственно.

Отсюда ток в контуре

. (6.6)

Это выражение есть закон Ома для амплитуд в цепи переменного тока.

Сдвиг фаз между током и напряжением определится из соотношения (см. рис. 6.7б):

или

. (6.7)

Ток в контуре зависит не только от параметров цепи, но и от частоты переменного тока. При частоте , определяемой из соотношения , полное сопротивление цепи минимально, активно и равно R, и ток в цепи достигает максимального значения . Это явление называется резонансом, а частота - резонансной. Из формулы следует, что при резонансе сдвиг фаз между током и напряжением на концах цепи равен нулю.

Явление увеличения амплитуды колебаний при настройке контура в резонанс с источником колебаний широко используют в радиотехнике: в схемах радиоприемников, уси­лителей, генераторов высокочастотных колебаний.