- •1.Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательство критерия линейной зависимости 2х и 3х векторов.
- •2. Система линейных алгебраических уравнений. (слау). Различные формы записи слау. Совместность слау. Доказательство критерия Кронекера-Капелли о совместности слау.
- •1.Определение базиса v1, v2, v3. Доказательство единственности разложения векторов в базисе v2. Линейные операции над векторами, заданными в одном и том же базисе.
- •2.Однородные слау. Доказательство критерия существования ненулевого решения однородной квадратной слау.
- •2.Однородные слау. Теорема о структуре решения однородной слау.
- •1.Правые, левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения. Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.
- •2.Фундаментальная система решений (фср) однородной системы линейных алгебраических уравнений. Доказательство существования фср. Нормальная фср.
- •2. Понятие ранга матрицы. Доказательство критерия Кронекера-Капелли Совместимости слау.
- •2.Слау. Различные формы записи слау. Понятие совместности слау. Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной слау.
- •2.Понятие совместности слау. Доказательство совместности слау.
- •1.Определение декартовой прямоугольной системы координат. Задачи о нахождении длины отрезка и делении отрезка в заданном отношении.
- •1.Вывод параметрических уравнений и канонического уравнения прямой на плоскости. Понятие направляющего вектора прямой. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.
- •2.Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами, операция транспонирования матриц. Доказательство их свойств.
- •2.Умножение матриц. Доказательство свойств умножения матриц.
- •2.Понятие обратной матрицы.Доказательство единственности ом.???обратно-матричное произведение 2х невырожденных матриц.
- •2.Понятие присоединенной матрицы.Критерий существования обратной матрицы и ее связь с присоединенной матрицей.
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов, строк и столбцов матрицы. Доказательство критерия линейной зависимости.
- •1.Общие ур-я прямой в пространстве. Вывод вкт , канонического и параметрического уравнений прямой в пространстве.
- •2. Понятие минора матрицы, Базисный минор. Доказательство теоремы о базисном миноре.
- •2.Доказательство теоремы о базисном миноре. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы и его базисного минора.
- •1. Условия паралельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Вывод формулы для вычисления угла между пространственой прямой и плоскостью. Условие принадлежности данной прямой плоскости.
- •2.Ранг и базисный минор матрицы.Доказательство теоремы о базисном миноре
- •1.Вывод формулы для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.
- •2.Однородные слау. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной слау.
- •1.Определение элипса как геометрического места точек, вывод канонического ур-я элипса.
- •1.Определени гиперболы как геометрического места точек.Вывод канонического ур-я гиперболы.
- •2.Понятие совместности слау.Доказательство критерия совместности слау.
- •1.Определение параболы как геометрического места точек.Вывод канонического определения параболы.
- •2.Однородные слау и их фср, Доказательство критерия существования ненулевых решений однородной квадратной слау.
- •1.Понятие цилиндрических поверхностей и вывод ее уравнения. Каноническое ур-е цилиндрич поверхности 2го порядка.
- •1.Каноническое ур-е элипсоида. Исследование формы поверхности методом сечения.
- •1.Каноническое ур-е конуса. Исследование формы поверхности методом сечения
- •1.Каноническое ур-е гиперболоида. Исследование формы поверхности методом сечения.
- •1.Каноническое ур-е параболоида. Исследование формы поверхности методом сечения
1.Вывод параметрических уравнений и канонического уравнения прямой на плоскости. Понятие направляющего вектора прямой. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.
2.Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами, операция транспонирования матриц. Доказательство их свойств.
1.
Вкт М0М={x-x0;y-y0}, s = {l;m} x-x0=lt;y-y0=mt; x = x0+lt; y = y0+mt; -параметриеское. (x-x0)/l = (y-y0)/m- каноническое ур-е. Ненулевой вкт параллельный данной прямой называют направляющим.(y-y0)/(x-x0) = tgL
Y=kx+b;
2. Матрицей называют прямоугольную таблицу чисел. Если число строк равно числу столбцов то матрица наз-тся квадратной., матрица строка, столбец, нулевая. Равенство матриц. Верняя/нижняя треугольная матрица, диагональная,единичная.единичная обозначаеться Е,I.Диаг ^, к линейным операциям относят операции сложения и умножения на число, суммой дву матриц одного размера называют матрицу тогоже размера эл-ты которой равны суммам соответствующих элеметов. Произведением матрицы на число называется матрица тогоже размера элементы которой равны элементам данной умноженным на данное число. Св-ва лин опреаций 1 А+В =В+А, (А+В)+с = А+(В+С), Л(А+В)=ЛА+ ЛВ, (Л+В)А=ЛА+ ЛВ,
1А=А, 0А=А,А+0=А , А+(-А)=0, Матрица Ат называют транспонированой матрица по отношению к А если атиж=ажи, 1 столбец становица 1 строкой.
(А+В)т=Ат+Вт, Атт=А.А-симетричная матрица Ат=А.
Билет 10
1.Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, каноническое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках». Геометрическое толкование входящих в систему параметров. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями. Вывод формулы для вычисления угла между двумя прямыми.
2.Умножение матриц. Доказательство свойств умножения матриц.
1.
Ах + Ву+С = 0-общее, (x-x0)/l = (y-y0)/m- каноническое ур-е.,y=kx+b-с угловым коэфицентом. х/а+у/в = 1 в отрезках.Вкт М0М={x-x0;y-y0}, s = {l;m} x-x0=lt;y-y0=mt; x = x0+lt; y = y0+mt; -параметриеское. Ах + Ву+С = 0 А и В координаты нормального вкт. (х-х1)/(х2-х1) = (у-у1)/(у2-у1) – ур-е пр проход через 2 тчк. Точки пер с осями координат.паралельность общее- а1/а2=в1/в2. каноническое m1/m2=l1/l2. пепендикулярность a1a2+b1b2=0, угол через скалярное произведени cos(fi)=|n1n2|/|n1||n2|=|a1a2+b1b2|/sqr(a1^2+b1^2)/sqr(a2^2+b2^2); Тг = (k1-k2)/(1+k1k2); это наименьший угол.
2.
Рассмотрим А = (аик)мхл и В = (вкж)лхн Произведением матрицы А на матрицу В называют матрицу С = (сиж)мхн размера мхн эл-ты котрой соот равны. Строка умножаеться на столбец.
AB!=BA,(A+B)C=AC+BC,ABC=A(BC) , (LA)B=L(AB),Amxn0nxk=0mxk,АIn=ImA=A,det(AB)=det(A)det(B);
Билет 11.
1.Нормальное ур-е прямой на плоскости,его получение из общего уравнения.Геометрическое толкование входящих в него параметров Отклонение точки от прямой, выведение формулы для вычисления расстоянияот точки до прямой.
2.Понятие обратной матрицы.Доказательство единственности ом.???обратно-матричное произведение 2х невырожденных матриц.
1.
N={cos(fi),sin(fi)}, N per L, M(x,y), OM*N=P(ратояния от О до L),xcos(fi)+ysin(fi)-p=0 – норм ур-е. Чтоб из общего ax+by+c=0 получить норм надо разделить на нормирующий множитель взятый со знаком противоположным с. Sqr(a^2+b^2), 3x-4y+10=0, -3/5x+4/5y-2=0 fi – угол от оси х против часовой, p – расстояние от О до L. M(x,y),b=xcos(fi) +ysin(fi)-p
Надо брать по модулю.для общего ур-я, |Ax+By+C|/sqr(a^2+b^2) M(x,y)
2.
Пусть А квадратная матрица порядка н . Квадратную матрицу В тогоже порядка называют обратной к А если АВ=ВА=Е где Е единичная матрица порядка н. Теор. Если квадратная матр А имеет обр матр , то обр матр единственная. Предположим что матр А имеет две обр матр В и В’ тогда согл опр выполнены АВ’=Е и ВА=Е Используя ассоциативность умножения имеем
В=ВЕ=В(АВ’)= (ВА)В’ = Е В’ = В’. Т.е они равны. ???
Билет 12.
Док-ать что любое ур-е 1ой степени относительно декартовых прямоугольных координат в пространстве определяет плоскостьюПонятие нормального вектора плоскости. Вывод ур-я плоскости проходящей через 3 точки и ур-е в отрезках.