Тема 1.5 Основные понятия алгебры логики

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Алгебра логики является теоретической основой построения электронных вычислительных машин и цифровых устройств. Логические двоичные функции получили название булевых по имени английского математика XIX в. Дж. Буля.

1.5.1 Функции алгебры логики (булевы функции)

Таблица 1.5.1 – Значения булевых функций

№ п/п	Значения булевых функций в зависимости от значений аргументов x и y						Обозначение функции		Название функции
	x	0	0	1	1
	y	0	1	0	1
1	F0(x, y)	0	0	0	0	0		Константа ноль
2	F1(x, y)	0	0	0	1			Конъюнкция, логическое умножение, И, , AND
3	F2(x, y)	0	0	1	0			Запрет по x, отрицание импликации
4	F3(x, y)	0	0	1	1			Переменная x
5	F4(x, y)	0	1	0	0			Запрет по y, отрицание импликации
6	F5(x, y)	0	1	0	1			Переменная y
7	F6(x, y)	0	1	1	0			Сумма по модулю 2, логическая неравнозначность, М2, XOR
8	F7(x, y)	0	1	1	1			Дизъюнкция, логическое сложение, ИЛИ, OR
9	F8(x, y)	1	0	0	0			Стрелка Пирса, отрицание дизъюнкции, ИЛИ-НЕ, NOT OR
10	F9(x, y)	1	0	0	1			Эквивалентность
11	F10(x, y)	1	0	1	0			Отрицание, инверсия y, НЕ, NOT
12	F11(x, y)	1	0	1	1			Импликация от y к x
13	F12(x, y)	1	1	0	0			Отрицание, инверсия x, НЕ, NOT
14	F13(x, y)	1	1	0	1			Импликация от x к y
15	F14(x, y)	1	1	1	0			Штрих Шеффера, отрицание конъюнкции, И-НЕ, NOT AND
16	F15(x, y)	1	1	1	1	1		Константа единица

1.5.2 Основные законы алгебры логики

1. Законы нулевого множества:

, , ,

т.е. конъюнкция любого числа переменных обращается в ноль, если хотя бы одна переменная имеет значение 0, независимо от значений других переменных.

1. Законы универсального множества:

, , ,

т.е. дизъюнкция любого числа переменных обращается в единицу, если хотя бы одна переменная имеет значение 1, независимо от значений других переменных.

2. Законы идемпотентности (повторения, тавтологии):

, .

3. Закон двойной инверсии:

, т.е. двойную инверсию можно снять.

4. Законы дополнительности:

• закон логического противоречия

, т.е. конъюнкция любой переменной и ее инверсии есть 0;

• закон исключенного третьего

, т.е. дизъюнкция любой переменной и ее инверсии есть 1.

5. Коммутативные законы (законы перемещения):

,

т.е. результаты выполнения операции конъюнкции и дизъюнкции не зависят от того, в каком порядке следуют переменные.

6. Ассоциативные законы (законы сочетания):

,

т.е. для записи конъюнкции или дизъюнкции скобки можно опустить.

7. Дистрибутивные законы (законы распределения):

• конъюнкции относительно дизъюнкции:

;

• дизъюнкции относительно конъюнкции:

.

8. Законы поглощения:

, .

9. Законы склеивания (распространения):

, .

10. Законы де Моргана (законы инверсии):

• для двух переменных:

, т.е. инверсия конъюнкции есть дизъюнкция инверсий;

, т.е. инверсия дизъюнкции есть конъюнкция инверсий;

• в общем виде:

или ,

т.е. инверсия функции есть функция от инверсий её аргументов и операций дизъюнкции и конъюнкции.