Федеральное агентство по образованию и науке Российской Федерации

Волгоградский государственный технический университет

Кафедра «САПР»

Семестровая работа:

Тема: Разработка программной системы многомерной оптимизации

Выполнил:

студент группы ИВТ-362

Додонов А.В.

Проверил:

доцент, к.ф-м.н. Яновский Тимур Александрович

Волгоград 2010

1. Формулировка поставленной задачи

Разработать программную систему многомерной оптимизации. Провести численные исследования на наборе тестовых задач. Метод многомерной оптимизации – метод Розенброка.

2. Математическое решение

Постановка задачи

Требуется найти безусловный минимум функции f(x) многих переменных, т.е.найти такую точку x^*, принадлежающую Rⁿ, в которой бы функция имела свой минимум.

Стратегия поиска

Суть метода Розенброка состоит в следующем. Задаётся начальная точка. Из неё осуществляется итеративный поиск направления убывания функции с помощью изменяемых дискретных шагов вдоль n линейно независимых и ортогональных направлений. В случае удачного шага в исследуемом направлении его значение на следующей итерации увеличивается с помощью коэффициента растяжения, а в случае неудачи уменьшается за счёту умножения на коэффициент сжатия(при это направление поиска изменяется на противоположное). Поиск в системе текущих направлений проводится до тех пор, пока все возможности уменьшения функции не будут исчерпаны. Если по каждому направлению поиска имеет место неудача, строится новое множество линейно независимых ортогональных направлений и циклический поиск по отдельным направлениям продолжается. Новые направления поворачиваются по отношению к предыдущим так, что они оказываются вытянутыми вдоль оврага.

3. Алгоритмическое решение

Метод Розенброка:

Шаг 1. Задать начальную точку х⁰, число е > 0 для остановки алгоритма, коэффициент растяжения

α > 1 и сжатия -1 < β < 0, в качестве начальных линейно независимых и ортогональных направлений d₁,d₂,…,d_n выбрать координатные направления:

d₁ = {1, 0,…, 0}, d₂ = {0, 1,…, 0}, …, d_n = {0, 0,…, 1};

начальную длину шага вдоль каждого из направлений поиска ∆₁⁰, …, ∆_n⁰ > 0;

N – максимальное число неудачных серий шагов по всем направлениям на одной итерации.

Положить y¹= x⁰, k = 0, i = 1, ∆_i = ∆_i⁰ для всех i.

Шаг 2. Сделать шаг по i-му направлению:

а) если f(yⁱ + ∆_id_i) < f(yⁱ), шаг считается удачным. В этом случае следует положить yⁱ⁺¹ = yⁱ + ∆_id_i,

∆_i = α ∆_i и перейти к шагу 3.

б) если f(yⁱ + ∆_id_i) ≥ f(yⁱ), шаг считается неудачным. В этом случае следует положить yⁱ⁺¹ = yⁱ ,

∆_i = β ∆_i и перейти к шагу 3.

Шаг 3. Проверить выполнение условий:

а) если i < n, то положить i = i +1 и перейти к шагу 2(сделать шаги по оставшимся направлениям);

б) если i = n, проверить успешность поиска по текущим ортогональным направлениям:

- если f(yⁿ⁺¹) < f(y¹), т.е. хотя бы один спуск по направлению на шаге 2 был успешным, положить y¹ = yⁿ⁺¹, i = 1 и перейти к шагу 2;

- если f(yⁿ⁺¹) = f(y¹), т.е. каждый из n последних шагов был неудачным, оценить успешность поиска на текущей итерации:

-- если f(yⁿ⁺¹) < f(x^k), т.е. на k-ой итерации был хотя бы один удачный шаг, то перейти к шагу 4.

-- если если f(yⁿ⁺¹) = f(x^k), т.е. не было ни одного удачного шага на k-ой итерации, процесс поиска приостановить. Если число l последовательно неудачных серий шагов по всем направлениям на текущей итерации не превышает N, проверить условие окончания, а иначе перейти к шагу 4. Провеяются величиы i, использованные во время последней серии шагов. Если |∆_i| ≤ е для всех i, то найдено приближённое решение задачи x* = xk. Иначе положить y¹ = yⁿ⁺¹, i = 1 и перейти к шагу 2.

Шаг 4. Положить xk+1 = yn+1 и проверить условие окончания:

а) если ||x^k+1 – x^k|| ≤ е, то поиск завершить х* = x^k+1;

б) если ||x^k+1 – x^k|| > е, вычислить длины шагов по каждому направлению поиска на k-й итерации из соотношения x^k+1 – x^k = ∑ λ _id_i. Далее построить новый набор линейно независимых и взаимно ортогональных направлений поиска с помощью процедуры Грама-Шмидта:

a_i = d_i, при λ_i = 0,

∑ λ _jd_j, j = i, …, n при λ_i ≠ 0,

b_i = a_i, i = 1,

a_i - ∑ (a_i^T_d_j) _d_j, j = 1, …, i-1 при i ≥ 2;

_d_i = b_i/||b_i||

После нахожления новых направлений следует положить: d_i = _d_i, ∆_i = ∆_i⁰

для всех i = 1,…n, k = k + 1, y¹ = x^k+1, i =1, и перейти к шагу 2.

Блок-схема