
- •Натуральные числа
- •Метод математической индукции.
- •Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- •Целые числа
- •Рациональные числа
- •Числовые кольца, поля
- •Вещественные числа
- •Поле комплексных чисел
- •Комплексная плоскость.
- •Извлечение корней, корни из единицы
- •Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- •Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- •Неприводимый многочлен, его свойства
- •Из вытекает, либо , либо .
- •Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- •Корень многочлена.
- •Интерполяционный многочлен
- •Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- •Примитивный многочлен, его свойства
- •Критерий Эйзенштейна
- •Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- •Старший коэффициент не делится на p
- •Свободный член не делится на
- •Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- •Рациональные корни.
- •Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- •Формальная производная, ее свойства
- •Производные высоких порядков
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- •Формулы Виета
- •Симметрические полиномы
- •Формулы Кардано
- •Способ Феррари
- •Дискриминант
- •Основная теорема Алгебры
- •Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- •Теорема Штурма
- •Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- •Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- •Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- •Равносильные преобразования
- •Умножение строки не ненулевое число.
- •Перестановка строк
- •Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- •Метод Гаусса.
- •Перестановки
- •Четность перестановок
- •Определитель
- •Свойства определителя
- •Изменит знак при перестановке столбцов
- •Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- •Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- •Вычисление определителей произвольных порядков
- •Определитель Вандермонда
- •Теорема Лапласа
- •Умножение матриц
- •Формула Бине-Кощи
- •Операции с матрицами
- •Обратная матрица
- •Правило Крамера
- •Матрица элементарных преобразований
- •Построение обратной матрицы
- •Блочные матрицы
- •Алгоритм Штрассена
- •Кронекерово произведение
- •Формула Фробениуса
- •Линейные пространства.
- •. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- •Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- •. Прямая сумма подпространств. Проекция.
- •Изменение координат вектора при изменении базиса.
- •Изоморфизм линейных пространств.
- •Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- •Ранги матрицы.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Двойственное пространство
- •Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- •Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •Скалярное произведение.
- •Симметричность .
- •Векторное и смешанное произведение.
- •Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •Ортогональность.
-
Способ Феррари
Обозначим корни уравнения
через
. Положим
,
,
. Легко проверить, что перестановка
переменных
приводит лишь к некоторой перестановке
и поэтому, элементарные симметрические
многочлены от
являются симметрическими многочленами
от
.
Следовательно, можно написать уравнение
третей степени, коэффициенты которого
суть многочлены от коэффициентов
исходного многочлена, корнями которого
являются
.
Кубическое уравнение называют кубической
резольвентой. После нахождения корней
,
из уравнения
( к нему сводится решение системы
,
)
находим
,
из уравнения
-
,
и из уравнения
-
.
Выразив все корни через
и подставив выражения в уравнение
найдём все корни исходного уравнения.
-
Дискриминант
Дискриминантом называется многочлен
от n переменных
.
Квадрат дискриминанта является
симметрическим многочленом.
-
Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство.
Не нарушая общности можно считать
старший коэффициент многочлена равным
1. Пусть
,
и
.
Тогда справедливы неравенства
и
.
На концах отрезка
многочлен f(x)
принимает значения, противоположные
по знаку, следовательно, найдётся такое
число
,
что
.
Лемма 2.6. Многочлен второй степени с комплексными коэффициентами имеет комплексные корни.
Доказательство очевидно.
Лемма 2.7 Многочлен с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Доказательство.
Любое натуральное число, а, значит и
степень многочлена n,
можно представить в виде произведения
,
где m
– нечётное число. Доказательство
проведём методом математической индукции
по s.
Если s=0,
то n
– нечётно, и утверждение следует из
приведённой выше леммы. Пусть утверждение
леммы справедливо для s-1.
Покажем его справедливость для s.
Рассмотрим многочлен f(x)
степени
.
Построим его поле разложения. В этом
поле он имеет корни
. Для некоторого вещественного числа q
построим многочлен
. Коэффициенты этого многочлена являются
симметрическими многочленами от
,
а значит многочленами (с вещественными
коэффициентами) от коэффициентов f(x).
Степень
равна
,
и по предположению индукции многочлен
имеет комплексный корень. Не нарушая
общности, можно считать, что найдутся
различные вещественные числа
и
,
при которых числа
и
- комплексные. Но тогда
и
.
Многочлен второй степени
имеет комплексные коэффициенты, а значит
и его корни
.
Тем самым лемма доказана.
Теорема 2.24 (Основная теорема алгебры)
Любой многочлен над полем комплексных чисел имеет хотя бы один комплексный корень.
Доказательство.
Пусть f(x)
многочлен с комплексными коэффициентами
.
Положим
и
.
У многочлена g(x)
- вещественные коэффициенты, и по
доказанному выше, g(x)
имеет комплексный корень a,
то есть
.
Если f(a)=0,
то теорема доказана, a
– корень f(x).
Пусть
.
По свойствам операции сопряжения
,
откуда выводим
корень f(x).
Следствие 2.8 Многочлен над полем комплексных чисел разлагается в произведение линейных множителей. Разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.
Доказательство. По основной теореме алгебры многочлен f(x) над полем комплексных чисел имеет комплексный корень a, и по теореме Безу, делится на двучлен x-a. Поделим f(x) на x-a и повторим указанные действия с частным. В результате разложим многочлен на линейные множители. Единственность разложения доказана ранее (Теорема 2 .13).