2. Критерий Эйзенштейна

Теорема 2.16 (Критерий Эйзенштейна) Пусть f(x) многочлен над кольцом целых чисел. Если существует простое число p, что

1. Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p

2. Старший коэффициент не делится на p

3. Свободный член не делится на

Тогда многочлен f(x) неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство проведём методом от противного. Допустим многочлен h(x) удовлетворяет условиям теоремы и тем не менее представим в виде произведения двух многочленов f(x)g(x). Естественно, все многочлены с целыми коэффициентами. Поскольку , то либо делится на p, либо делится на p (оба сразу делиться не могут, из-за условия III). Пусть, для определённости делится на p, а не делится на p. Из равенства , делимости и на p, и не делимости на p, выводим делимость на p. Продолжив рассуждения, придём к тому, что все коэффициенты f(x) делятся на p, что противоречит условию I.

Следует отметить, что критерий Эйзенштейна даёт достаточные условия неприводимости многочленов, но не необходимые. Так многочлен является неприводимым над полем рациональных чисел, но не удовлетворяет критерию Эйзенштейна.

Следствие 2.3 Над полем рациональных чисел найдётся неприводимый многочлен степени n, где n любое натуральное число больше 1.

Действительно, многочлен , по критерию Эйзенштейна, является неприводимым.

Следствие 2.4 Для простого n многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство. Разложим многочлен по степеням x-1 . Многочлен удовлетворяет критерию Эйзенштейна, и, значит, является неприводимым. Но тогда неприводим и многочлен .

3. Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.

Если многочлен f(x) степени n приводим, то один из множителей имеет степень не выше n/2. Обозначим этот множитель через g(x). Поскольку все коэффициенты многочленов суть целые числа, то для любого целого a значение f(a) делится без остатка на g(a). Выберем m=1+n/2 различных целых чисел a_i, i=1,…,m. Для чисел g(a_i) существует конечное число возможностей (число делителей любого ненулевого числа конечно), а следовательно, существует конечное число многочленов, которые могут быть делителями f(x). Осуществив полный перебор, либо покажем неприводимость многочлена, либо разложим его в произведение двух многочленов. К каждому множителю применим указанную схему до тех пор, пока все множители не станут неприводимыми многочленами.

4. Рациональные корни.

Пусть - многочлен с целыми коэффициентами и содержанием 1, и, - его рациональный корень. Представим этот корень в виде несократимой дроби . Многочлен f(x) представляется в виде произведения примитивных многочленов . Следовательно, числитель a является делителем , а знаменатель – делителем . Более того, для любого целого k значение f(k) делится без остатка на (bk-a).

8. Присоединение корня. Поле разложения многочлена.

Пусть f(x) - неприводимый многочлен степени n над числовым полем P, и пусть корень этого многочлена в некотором числовом поле T (P содержится в T). Построим наименьшее поле, содержащее поле P и . Легко убедится, что числа вида , где принадлежат этому полю. Обозначим множество этих чисел .

Теорема 2.17 Множество является числовым полем.

Доказательство. Замкнутость относительно сложения, вычитания, умножения очевидна. Покажем замкнутость относительно деления. По числу построим многочлен из P(x). Наибольший общий делитель многочленов a(x) и f(x) равен 1 (в силу неприводимости f(x)), следовательно, найдутся многочлены u(x) и v(x) из P(x), что u(x)f(x)+v(x)a(x)=1. Подставим вместо x значение . Получим равенство . Поскольку , и , то теорема доказана.

В качестве можно брать любой корень многочлена f(x). В результате будут получаться различные поля .

Определение 2.4 Числовые поля называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции +,*.

Следствие 2.5 Пусть f(x) - неприводимый многочлен над полем P, и a, b - его корни в некотором поле T. Тогда поле P(a) изоморфно полю P(b).

В приведённых выше построениях везде фигурировало поле T, которое содержало корень многочлена. Избавимся от этого поля. Это можно сделать следующим образом. Обозначим через P[x] множество остатков от деления многочленов из P(x) на неприводимый многочлен f(x) (над P). На этом множестве определим операции сложения и умножения. Сложение - обычное сложение многочленов, а в качестве результата умножения многочленов возьмём остаток от деления их произведения на f(x). В результате получим множество многочленов над которыми определены операции сложения и умножения, причём это множество изоморфно P(a), где a - корень f(x) в некотором поле T. При построении поля P[x] поле T никак не участвует.

Говорят, что поле P[x] получено присоединением корня f(x). При этом вопросом о существовании поля, в котором f(x) имеет корень, можно не задаваться. Следует отметить, что элемент x поля P[x] является корнем f(x).

Теорема 2.18 Пусть f(x) - многочлен над полем P. Тогда существует поле T (P содержится в T) над которым многочлен f(x) разлагается на линейные множители

Доказательство. Разлагаем f(x) на неприводимые множители. Если все множители линейны, то теорема доказана. В противном случае возьмём неприводимый многочлен степени больше 1 и присоединим его корень. Далее, повторим рассуждения. Процесс бесконечно продолжаться не может из-за конечности степени f(x).

Поле, над которым многочлен разлагается на линейные множители, называется полем разложения многочлена.