10. Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.

С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.

Теорема 7.49 Кронекера-Капели.

Система совместна тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Очевидно.

В качестве примера определим взаимное расположение двух линейных многообразий: и (предполагается линейная независимость систем векторов и ). Рассмотрим две системы линейных уравнений и . Положим и .

Совместность первой системы означает, что у линейных многообразий есть общая точка. Равенство рангов является необходимым и достаточным условием совместности первой системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капели). Размерность пространства решений второй системы позволяет определить размерность пересечения линейных оболочек и по формуле . Этой информации достаточно для описания взаимного расположения линейных многообразий. В качестве примера приведём в таблицах все случаи взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

Две прямые (k=s=1)

r	R	примечание
1	1	Прямые совпадают (есть общая точка и размерность пересечения равна 1)
1	2	Прямые параллельны
2	2	Прямые пересекаются в одной точке
2	3	Прямые скрещиваются (нет общих точек и не параллельны)

Прямая и плоскость (k=1, s=2)

r	R	примечание
2	2	Прямая лежит в плоскости
2	3	Прямые параллельна плоскости
3	3	Прямая пересекается с плоскостью в единственной точке
3	4	Прямая и плоскость скрещиваются (нет общих точек и не параллельны)

Две плоскости (k=s=2)

r	R	примечание
2	2	Плоскости совпадают
2	3	Плоскости параллельны
3	3	Плоскости пересекаются по прямой
3	4	Плоскости скрещиваются, но имеют параллельные прямые
4	4	Плоскости пересекаются в единственной точке
4	5	Плоскости абсолютно скрещиваются (ни какие прямые одной плоскости не параллельны прямым другой плоскости)

8. Геометрия на плоскости и в пространстве.

Целью данного раздела состоит в рассмотрении таких геометрических понятий как расстояние, площадь, объём с последующим обобщением этих понятий и их переносом на произвольные линейные пространства.

1. Скалярное произведение.

Определение 8.37. Скалярным произведением геометрических векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают .

Из определения следует, что длина вектора равна . От

Приведём свойства скалярного произведения.

1. Симметричность .

2. 

3. 

В доказательстве нуждается только третье равенство. Если c=0, то равенство очевидно. Пусть . Проекция вектора b на c равна .

Из равенства и приведённой выше формулы выводим . Приравняем коэффициенты при векторе c в левой и правой частях равенства и умножим на квадрат длины вектора c, получим свойство 3.

Задание длин векторов определяет скалярное произведение. Действительно, из свойств скалярного произведения выводим равенство , которое перепишем в виде

. Таким образом, задание длин векторов равносильно заданию скалярного произведения и наоборот.

Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов. Пусть - базис пространства векторов, и , - разложения векторов a,b по этому базису. Тогда по свойствам скалярного произведения выводим . Обозначим через матрицу Грамма от векторов , составленную из скалярных произведений этих векторов, через - координаты вектора a в базисе f. В этих обозначениях скалярное произведение можно записать с помощью матричных операций следующим образом .

Векторы называются ортогональными (перпендикулярными) если угол между ними равен . Условие ортогональности векторов равносильно равенству нулю их скалярного произведения.

Базис называется ортогональным, если базисные векторы попарно ортогональны. Матрица Грамма ортогональной системы векторов – диагональная. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортогональном базисе принимает более простой вид, а именно, .

В ортогональном базисе скалярное произведение вектора a на базисный вектор равно , то есть, координаты вектора a находятся по формулам .

Ортогональный базис , в котором длина каждого базисного вектора равна 1, называется ортонормированным. В ортонормированном базисе координаты вектора x определяются по формулам , а скалярное произведение векторов равно .