5. Числовые кольца, поля

Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.

Любое числовое кольцо содержит 0.

Множество чётных чисел - кольцо без 1

Числовое кольцо, в котором разрешимо уравнение ax=b () называется числовым полем.

Теорема 1.2 В любом числовом поле содержится поле рациональных чисел.

Доказательство. Пусть - элемент этого поля. Тогда принадлежит полю, а значит в силу замкнутости относительно операции + и все натуральные числа. Поскольку уравнение a+x=b разрешимо для всех элементов поля, то в нём содержатся все целые числа. Аналогично, из разрешимости уравнения ax=b вытекает, что в поле содержатся все рациональные числа.

Кроме поля рациональных чисел существуют другие поля. Например: числа вида образуют числовое поле.

6. Вещественные числа

Вещественным числом называется бесконечная десятичная дробь. Множество вещественных чисел является полем

7. Поле комплексных чисел

Положим . Числа вида , где называются комплексными. С комплексными числами возможны операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Множество комплексных чисел образует поле комплексных чисел.

Представление комплексного числа в виде называется его алгебраической формой. Коэффициенты a и b называются вещественной и мнимой частью комплексного числа, соответственно. Вещественную часть комплексного числа c обозначают Re(c), а мнимую часть – Im(c). Число называют комплексно сопряженным к числу c и обозначают . Отметим, что комплексно сопряженное к сумме, разности, произведению и частному комплексных чисел есть сумма, разность, произведение и частное комплексно сопряженных чисел.

1. Комплексная плоскость.

Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало координат, с этой точкой определено понятие длины и угла с осью, по которой откладывается вещественная часть. Длину вектора называют модулем комплексного числа и обозначают , а угол называют аргументом комплексного числа и обозначают Arg(c). Имеют место соотношения , , . Из них получаем тригонометрическую форму комплексного числа . Данная форма полезна при вычислении произведения и частного комплексных чисел.

Теорема 1.3 Пусть и , тогда и .

Доказательство теоремы вытекает из тригонометрических тождеств и правил проведения соответствующих операций над комплексными числами в алгебраической форме.

Из данной теоремы вытекает

Теорема 1.4 (Формула Муавра-Лапласа) Для целого n и справедливо .

2. Извлечение корней, корни из единицы

Из комплексного числа существует ровно n корней степени n. Справедливо . Если , то множество всех корней n-ой степени имеет вид: .

Отсюда вытекает, что формула Муавра-Лапласа обобщается и на случай рациональных степеней. Следует иметь в виду, что она даёт одно из возможных значений, а не всё множество.

Особый интерес представляет множество корней степени n из 1. Легко проверить, что это множество замкнуто относительно операции умножения. Более того, множество корней степени n представляется как степень одного из корней, т.е. . Корень степени n из 1 называется первообразным, если последовательным возведением его в степень можно получить всё множество корней степени n из 1.

Теорема 1.5 (о первообразных) Корень из 1 вида является первообразным тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель k и n равен 1.

Доказательство. Положим и построим последовательность чисел до первого повторения. Поскольку в указанной последовательности встречаются только корни из 1 степени n, количество которых не больше n, то повтор наступит обязательно. Пусть и j>1, тогда , и повтор встретился раньше. Следовательно, s - наименьшее число, при котором , или, то же самое, ks делится на n без остатка. Наименьшее число s, при котором ks делится на n, равно n/НОД(n,k). Корень будет первообразным тогда и только тогда, когда в последовательности встречаются все корни, т.е. s=n, а значит n=n/НОД(n,k), или НОД(n,k)=1.

3. Вычисление формул специального вида

   1. Вычисление формул вида

Введём комплексное число . Из формулы Муавра-Лапласа вытекают равенства и , сложив их, получим . Из последнего равенства выводим , и далее по биному Ньютона . Положив , придём к равенству .

2. Вычисление формул вида

Введём комплексное число . Как и выше, выводим . Подставим в сумму . Для выполнения операции деления представим 1-z в тригонометрической форме: и аналогично . После выполнения преобразований придём к окончательной формуле

3. Вычисление формул вида .

Обозначим сумму через , где j=0,1,…,d-1, а через - первообразный корень степени d из 1. Тогда, легко проверить, , где j=0,1,…,d-1. Умножим каждое из равенств на и сложим. В результате получим равенство . Запишем в тригонометрической форме возведём в степень n и подставим: или, что .

2. Многочлены

Определение 2.2Многочленом (полиномом) называется функция вида .

Коэффициенты многочлена берутся из некоторого числового множества M. Множество всех многочленов с коэффициентами из M обозначим через M(x). В качестве M обычно рассматривается числовое кольцо, либо числовое поле.

1. Операции над многочленами.

С многочленами над числовым кольцом можно проводить операции сложения, вычитания и умножения. Данные операции разобраны в школьном курсе математики. Ясно, что в результате получится многочлен с коэффициентами из этого же кольца. Интересна связь коэффициентов произведения многочленов с коэффициентами сомножителей. Пусть в результате перемножения многочленов и получается многочлен . Тогда , в правой части равенства предполагается, что при и при .

Над многочленами над числовым полем кроме перечисленных операций определена операция деления с остатком.

Теорема 2.6 (Деление многочленов)

При делении многочленов над некоторым полем частное и остаток определены единственным образом.

Доказательство очевидно.

Для деления на двучлен x-a разработана компактная схема деления, которая называется схемой Горнера. Данная схема применяется и для вычислений значения многочлена в точке.

Теорема 2.7 (Безу)

Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен x-a равен f(a).