6. Формула Бине-Кощи

Теорема 5.32 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где - матрица, образованная столбцами матрицы A с номерами , а - матрица, образованная строками матрицы B с номерами .

Доказательство. Пусть C=AB. По определению определителя . Выразим элементы C через элементы A и B, получим . Перемножим все суммы придем к выражению . Поменяем порядок суммирования, поставив сумму по перестановкам на последнее место. Вынесем за знак суммы сомножители не зависящие от f получим . Сумма есть определитель матрицы , следовательно, . Определитель, содержащий одинаковые строки равен 0, поэтому исключив из последней суммы слагаемые с одинаковыми номерами строк, придем к выражению . Для упорядочивания строк матрицы потребуется перестановок соседних строк (см.Теорема 4 .29), следовательно, и . Вынесем за знак последней суммы множители не зависящие от f . Сумма есть определитель матрицы , следовательно, , что и требовалось.

Следствие 5.12. Пусть A и B квадратные матрицы порядка n. Тогда определитель произведения равен произведению определителей .

6. Операции с матрицами

   1. Обратная матрица

Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.

Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образом, единичная матрица играет роль 1 среди матриц.

Определение 6.20. Матрица B называется обратной к матрице A, если AB=BA=E. Обратная матрица обозначается .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

Свойство 6.15. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует две обратные матрицы к A, которые обозначим через B и C. Рассмотрим произведение BAC. С одной стороны (BA)C=EC=C, а с другой B(AC)=BE=B. Результат не зависит от способа расстановок скобок, поэтому B=C.

Определение 6.21. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0.

Теорема 6.33. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы к A является ее невырожденность.

Доказательство. Пусть к матрице A существует обратная . Из равенства следует равенство определителей , откуда .

Пусть . Построим матрицу B, элементы которой равны . Найдем AB. Элемент матрицы произведения, стоящий на пересечение строки i и столбца j равен . Сумма является разложением по строке j определителя матрицы, отличающейся от матрицы A только строкой j, вместо которой стоит строка i. Если , то эта матрица имеет две одинаковые строки и ее определитель равен 0. Если i=j, то получаем матрицу A. Таким образом, элемент матрицы произведения, расположенный на пересечении строки i и столбца j равен 0 при и 1 при i=j, то есть AB=E. Аналогично, проверяется равенство BA=E.Следовательно, матрица B – обратная к A.

Следствие 6.13 Если BA=E или AB=E, то .

Доказательство. Если BA=E, то матрица A – невырожденная, и к ней существует единственная обратная матрица. Далее, или .