
- •1.Введение
- •2.Метрология
- •2.1 Физические величины и их единицы
- •2.1.1 Основные определения
- •2.1.2 Международная система единиц (си)
- •2.2 Воспроизведение и передача размера единиц
- •2.2.1 Эталоны единиц физических величин
- •2.2.2 Поверка и калибровка средств измерений
- •2.3 Основные вопросы измерений и средств измерений
- •2.3.1 Классификация измерений
- •2.3.2 Основные характеристики измерений.
- •2.3.3 Классификация средств измерений
- •2.4 Теория погрешностей и математическая обработка результатов измерений
- •2.4.1. Основные понятия и виды погрешностей
- •2.4.2 Вероятностный подход к описанию погрешностей
- •2.4.3 Основные законы распределения случайных погрешностей
- •Белый шум
- •Розовый шум
- •Броуновский (красный, коричневый) шум
- •Синий (голубой) шум
- •Фиолетовый шум
- •Серый шум
- •Оранжевый шум
- •Красный шум
- •Чёрный шум
- •Допуск в машиностроении
- •Линейные размеры, углы, качество поверхности, свойства материала, технические характеристики
- •Предельное отклонение угла конуса
- •Допуск формы и расположение поверхностей
- •Квалитет
- •Формальные определения
- •Определение по Шеннону
- •Определение с помощью собственной информации
- •Свойства
- •Математические свойства
- •Эффективность
- •Вариации и обобщения
- •Взаимная энтропия
- •4.1. Основные понятия и виды обратной связи в усилителях.
2.4.3 Основные законы распределения случайных погрешностей
Закон равномерной плотности. Если возможные значения погрешностей заключены в определенных пределах и одинаково вероятны, то считается, что они распределены по закону равномерной плотности (рис. 1.7).
Рис 1.7
Плотность вероятности определяется
,
где
.
Числовые характеристики погрешностей будут равны:
где
[
],
[
]
– математическое ожидание и СКО
погрешности,
и
–
её предельные значения. Если распределение
симметрично (т.е.
,
то
[
]=0,
[
]=
.
Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Нормальный закон распределения погрешностей описывается формулой
.
На
рис. 1.8 показан вид нормального закона
для двух значений СКО, причем s2>s1.
Т.к.
=
-
,
то закон распределения случайной
составляющей погрешности
(
)
имеет тот же вид и описывается аналогичным
соотношением (рис. 1.9)
.
Рис. 1.8
Рис. 1.9
,
где
-
СКО случайной погрешности (
=
).
Широкое распространение нормального закона объясняется тем, что рассеивание значений погрешностей вызывается множеством случайных факторов. Нормальный закон представляет собой симметричную кривую. Анализируя формулу и графики для нормального закона распределения, можно сделать следующие выводы:
1. Случайные погрешности, одинаковые по величине, но различные по знаку имеют одинаковую плотность вероятности т.е. встречаются одинаково часто (аксиома симметрии);
2.
Малые случайные погрешности имеют
большее значение
(
),
т.е. встречаются чаще, чем большие
(аксиома монотонного убывания плотности
вероятности случайной погрешности);
3.
Точка перегиба функции
(
)
по оси абсцисс соответствует значению
случайной погрешности, равной СКО (±
).
Так
как значение
определяется
через истинное значение измеряемой
величины, которые не известно, то по
этой же причине нельзя определить и
СКО. Для практического использования
приведенных соотношений необходимо
принять какое-то значение измеряемой
величины за истинное. В качестве такого
значения принимается среднее
арифметическое значение
ряда измерений величины
,
полученное из формулы
,
где
-
среднее арифметическое ряда измерений;
-
-ый
результат измеряемой величины из ряда
,
,…,
(выборки);
–
число измерений в ряде (объём выборки).
Зная среднее арифметическое, можно определить значение остаточных погрешностей (случайных отклонений)
.
При
достаточно большом числе измерений
(®∞),
,
®
.
Правильность
подсчета
и
проверяют,
используя свойство остаточных погрешностей
.
При
принятых допущениях для определения
точности ряда измерений вычисляют
оценку СКО
по
формуле Бесселя, которую называют
средним квадратическим
отклонением ряда измерений:
.
Для
данной серии из
измерений
среднее арифметическое
является
функцией результатов отдельных измерений
,
,…,
.
Если провести новую серию из
измерений,
то вследствие влияния отдельных факторов
на результаты измерений значения
второй
серии будут отличаться от
первой
серии. Следовательно, новое значение
и
будут
другим. Поэтому
,
получаемое в одной серии измерений (из
одной выборки) является случайным
приближением к
.
Величина получаемого при этом разброса
значений
и
определяется
с помощью оценки среднеквадратического
отклонения среднего арифметического,
которое можно определить по формуле
.
Полученные
таким образом оценки
,
,
называются точечными. Термин “оценка”
обозначает, что полученные результаты
,
,
получены по результатам ограниченной
выборки объёмом n из
генеральной совокупности, для которой
предполагается, что n ®∞.
Среднее квадратическое отклонение
среднего арифметического также называется
средним квадратическим
отклонением результата измерений.
Шумы
Цвета шума — система терминов, приписывающая некоторым видам шумовых сигналов определённые цвета исходя из аналогии между спектром сигнала произвольной природы (точнее, его спектральной плотностью или, говоря математически, параметрами распределения случайного процесса) и спектрами различных цветов видимого света. Эта абстракция широко используется в отраслях техники, имеющих дело с шумом (акустика, электроника, физика и т. д.).
Многие из следующих определений рассматривают спектр сигнала на всех частотах.
\ Основные «цвета» шумов
Цветовые соответствия различных типов шумового сигнала определяются с помощью графиков (гистограмм) спектральной плотности, то есть распределения мощности сигнала по частотам.