Тема 4. Метод моделирования – основной метод исследования систем

1. Экономико-математические методы и модели

Основным методом исследования систем является метод моделирования, то есть способ теоретического анализа и практического действия, направленных на разработку и использование модели.

Под моделью понимается образ реального процесса (объекта) в материальной форме, отражающий существенные свойства моделируемого объекта или процесса и замещающий его в ходе исследования и управления.

Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, т.е. его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

1. анализ экономических объектов и процессов;

2. экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов;

3. выработка управляющих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Разрабатывая модель какого-либо объекта, люди стремятся представить ее в виде копии реального мира. Целями создания модели являются обычно:

-использование ее в решении задач, которые трудно решать на реальном объекте;

- лучшее понимание объекта;

- построение улучшенного объекта путем внесения изменений в модель.

Естественным требованием к модели является ее идентичность объекту. Мы изучаем искусственные системы, используя их модели.

Модели с точки зрения экономиста описывает процессы, в которых важную роль играют люди. Совершаемые ими действия и их результаты находят отражения в модели.

С условием, или допущением, что люди не имеют свободы поведения в процессе производства.

Под исследованием операций понимают применение математических количественных методов для анализа проблемы и принятия решения. Основные этапы в исследовании операций:

1. построение модели

2. выбор критерия оптимальности

3. нахождение оптимального решения

Особенности исследования:

1 Используемые модели носят объективный характер – средство отражения объективно существующей реальности. Модель реальна. Критерий оптимально установлен. Оптимальное решение получаем единственно возможным вариантом. Другими словами, опираясь на одни и те же данные, разные специалисты должны получать одинаковые результаты. Деятельность людей, описываемая моделью, подчинена требованиям целесообразности

2 Руководитель получает научно обоснованное решение. Аналитик с применением методов системного анализа исследует организацию, внешнюю среду и пытается построить адекватную модель. ЛПР дает информация и получает готовое решение.

3 Существует объективный критерий успеха в применении методов исследования операций. Если проблема, требующая решения ясна и критерий определен, то аналитический метод сразу покажет насколько новое решение лучше, т.е. оптимальное решение.

Классическая задача исследования операций - транспортная задача - имеется большая авиакомпания. Разные маршруты. Определяют какие самолеты (по вместимости) и сколько самолетов должны обслуживать различные маршруты. Известны потоки пассажиров, общее кол-во самолетов. Требуется распределить самолеты по маршрутам так, чтобы минимизировать расходы на их обслуживание. Словесному описанию этой задачи соответствует четкое математическое описание, представляющее собой математическую модель.

При применении методов исследования операций стали сталкиваться с задачами, где несколько критериев оценки. В транспортной задаче прибавим еще два критерия: мах прибыли и мах комфорта. Три критерии необходимо согласовать. Соотношения между критериями неизвестны. Нужна дополнительная информация. Необходим компромисс по многим критериям, а он не может быть определен на основе объективных расчетов. Это уже многокритериальная задача.

Многокритериальные задачи

Анализ многих практических проблем привел к появлению класса многокритериальных задач. При появлении многих критериев решения приобретают некоторые особенности:

- нет статистических данных, позволяющих обосновать соотношению между различными критериями

- на момент принятия решения отсутствует информация, позволяющая объективно оценить возможные последствия выбора того или иного варианта. Недостаток необходимо восполнить, восполнить его может опыт и интуиции людей.

Понятие множества Эджворта - Парето можно рассмотреть на приведенном ниже примере выбора направления (страны) для путешествия

Альтернативы стоимость привлекательность

1 Белоруссия низкая малая

1 Англия высокая большая

3 США высокая большая

Одна из альтернатив (1) доминирующая ( Белоруссия). Две остальные, принадлежащие множеству Э-П невозможно сравнить непосредственно на основе критериальных оценок. Для принятия решения нужна дополнительная информация ( дальность путешествия ). Одно из возможных способов решения состоит в попарном сравнении альтернатив и исключении доминирующих. Выделение множества Э-П предварительная задача.

Задачи принятия решений носят принципиально разный характер. Классификация Г. Саймона выделяет:

-хорошо структурированные ( количественно сформулированные )- те, у которых существенные зависимости выявлены и могут быть выражены в числах и символах, получающих в конце концов численные оценки;

- слабоструктурированные или смешанные - те, которые содержат как качественные, так и количественные элементы , причем качественные доминируют.

Типичные проблемы исследования операций – хорошо структурированные.

В многокритериальных задачах. Часть информации отсутствует. Можно определить только основные переменные, установить связь между ними, т.е. построить модель, адекватно отражающую ситуацию. Но зависимости между критериями вообще не могут быть определены на основе объективной информации. Такие проблемы - слабоструктурированные (проблемы выбора профессии, места работы и др.).

Исследование решений на множестве Э-П

При появлении многокритериальных задач строят множество Э-П и организуют работы ЛПР на этом множестве.

Определяют реальное множество Э-П и ЛПР проводят анализ на плоскостях пар критериев при фиксированных значения других критериев - метод достижимых целей.

Многокритериальная задача линейного программирования

Дана область допустимых значений переменных, определяемая совокупностью линейных равенств и неравенств; критерии Сi, оценивающие качество решения.

Каждый из критериев линейно связан с переменными:

i

С. = ∑ Ci х Хi

n =1

n –число переменных

с – числовые коэффициенты

Требуется найти решение ( х1,х2, …… хn ) , при котором достигаются наиболее приемлемые значения по всем критериям. Найти критериальные оценки, при которых достигаются максимальное значение неизвестной функции полезности ЛПР. Эти задачи решаются с помощью человеко-машинных процедур (ЧМП) - работы ЛПР и компьютера, которая состоит из совокупности шагов, каждый из которых включает фазу анализа, выполняемого ЛПР, и фазу расчетов, выполняемых компьютером. Первые процедуры основаны на использовании информации об относительной важности критериев.

Весовые коэффициенты важности критериев

Естественная реакция человека, решающего многокритериальную задачу - устранить многокритериальность. Этот подход реализовали путем объединения

многих критериев в один с помощью, так называемых весовых критериев.

Глобальный критерий вычисляется по формуле

n

С гл = ∑ Wi хCi (1)

i=1

Сi частные критерии ( i =1…….n. ) wi – веса важности ( коэффициенты важности) критериев

0 ≤ Wi ≤ 1 (2)

Идея объединения состоит в том, что ЛПР назначает числа ( по шкале 1-100), в соответствии ценностью для него рассматриваемого критерия. Затем весовые коэффициенты нормируются на основе условия (2). Для линейной задачи любое эффективное, находящееся на множестве Э-П решение может быть представлено как решение задачи линейного программирования с критерием С гл. Формально задача сводиться к нахождению весов. Веса можно получит от ЛПР, они назначают первоначальные веса, получают расчеты и корректируют веса до получения удовлетворительного результата.

Классификация ЧМП – процедуры общения ЛПР и компьютера - основана на характере информации, получаемой от ЛПР на фазе анализа системы.

Прямые ЧМП, - те, в которых ЛПР непосредственно назначает веса критериев и корректирует их на основе полученных решений.

Вторая группа – задача состоит в сравнении многокритериальных решений. Это называется ЧМП оценки векторов.

Третья группа требует от ЛПР наложения ограничений на значения критериев и, следовательно, на область допустимых значений – поиск удовлетворительных решений.

Данные, полученные в результате экономико-математического моделирования, не всегда могут использоваться как готовые управленческие решения. Они рассматриваются как консультирующие средства, а принятия управляющих решений остается за человеком.

Таким образом, экономико-математическое моделирование является одним из компонентов в человеко-машинных системах планирования и управления экономическими системами.

Социально-экономические системы относятся к сложным системам.

Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании.

Важнейшие из этих свойств:

1. наличие у экономической системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих системы элементов взятому в отдельности вне системы;

2. массовый характер экономических явлений и процессов – закономерности экономических процессов не обнаруживается на основании небольшого числа наблюдений, поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения;

3. динамичность экономических процессов, то есть постоянное их изменение;

4. случайность и неопределенность в развитии экономических явлений;

5. невозможность изолировать, протекающие в экономических системах явления и процессы от окружающей среды, чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде;

6. активная реакция на появляющиеся новые факторы, способность социально-экономических систем к активным, не всегда предсказуемым, действиям.

Классификация экономико-математических методов и моделей

Классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав:

1. экономическая кибернетика

2. математическая статистика

3. математическая экономика

4. методы принятия оптимальных решений

5. методы и дисциплины специфичные отдельно. Как для централизованного планирования экономики, так и для рыночной конкурентной экономики

6. методы экспериментального изучения экономических явлений.

В классификации экономических моделей выделяют более десяти основных квалификационных рубрик:

1) по общему целевому назначению делится на:

- теоретико-аналитические;

- прикладные;

2) по степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на:

- макроэкономические;

- микроэкономические;

3) по конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения выделяют:

- балансовые модели;

- трендовые модели;

- оптимизационные;

- имитационные;

Имитационные модели наиболее эффективный класс моделей при поиске решений слабоструктурированных, т. е. количественно-качественных проблем – моделей, сочетающих количественное и качественное описания.

Имитационное моделирование как процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью понять поведение системы и оценить различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы. Применение стохастических моделей и экспериментов с использованием метода Монте-Карло, основополагающая линия имитационного моделирования. Имитационное моделирование в прикладном отношении процесс экспериментирования с помощью машинных (компьютерных) моделей.

4) по типу информации делятся на:

- аналитические;

- идентифицируемые;

5) по учету фактора времени:

- статические;

- динамические;

6) по учету фактора неопределенности:

- детерминированные ( не учитывают влияние вероятных случайных

величин);

- стохастические (с учетом влияния );

7) по характеристике математических объектов:

- матричные;

- модели линейно и нелинейно программированные;

- модели теории игр;

- модели теории массового обслуживания (может быть темой реферата);

- модели сетевого планирования и управления и т.д.

8) по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам:

- дескриптивные ( отвечают на вопрос : как это происходит? Или как это вероятнее всего может произойти? Дают вероятностный прогноз;

- нормативные ( как это должно быть? Предполагают целенаправленную деятельность( оптимальное планирование))

Ситуационное моделирование - опирается на модельную теорию мышления, в рамках которой можно описать основное механическое регулирование процессов принятия решения. В центре данной теории лежит представление о формировании структур головного мозга, информационные модели объекта и внешнего мира. Эта информация воспринимается человеком через призму, имеющегося у него опыта.

Целесообразное поведение человека строится через формулирование целевой ситуации и мыслей, преобразования данной ситуации в целевую.

Основой построения модели является описание объекта в виде совокупности элементов, связанных между собой отношением, отражающим семантику объекта. Чем богаче информация моделируемого объекта, и выше возможное манипулирование ее, тем лучше и многообразие качество принимаемого решения.

Реальное моделирование – при нем используется возможное исследование характеристик, либо на реальном объекте, в целом или на его части.

Натуральное моделирование – проводится исследование на реальном объекте с последующей обработкой результата.

2. Этапы экономико-математического моделирования

Процесс моделирования включает в себя три структурных элемента:

1 Объект исследования;

2 субъект (исследователь)

3 модель опосредования отношений между познающим субъектом и познаваемым объектом.

Схема процесса моделирования (4 этапа)

Пусть имеется некоторый объект.

На первом этапе мы конструируем или находим в реальном мире другой объект, т. е. модель исходного объекта- оригинала. Этап построения модели предполагает наличие определенных сведений об объекте-оригинале. Для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих определенные стороны исследуемого объекта или характеризующих его с разной степенью детализации.

На втором этапе – модель выступает как самостоятельный объект исследования. Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний и модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели.

Третий этап заключается в переносе знаний с модели на оригинал, в результате чего мы формируем множество знаний об исходном объекте, переходим с языка модели на язык оригинала.

На четвертом этапе – осуществляется практическая проверка, полученных с помощью моделей, знаний и их использование для целенаправленного преобразования или управления реальным объектом.

С каждым этапом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально построенная модель постепенно совершенствуется.

Процесс экономика – математического моделирования – это описание экономических и социальных систем и процессов в виде экономика – математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми средствами моделирования.

Данный процесс содержит 6 этапов:

1. постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.

На этом этапе требуется формулировка сущности проблемы, выделения важнейших черт и свойств моделируемого объекта, изучение его структуры и взаимосвязи его элементов;

2. построение математических моделей.

Это этап формализации экономической проблемы, т.е. выражение ее в виде конкретных математических зависимостей (функции, уравнения, неравенства и др.);

3. математический анализ моделей.

На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства моделей и их решения;

4. подготовка исходной информации.

В процессе подготовки информации используются методы теории вероятности, теоретической статистики и т.д.;

5. численное решение.

Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования;

6. анализ численных результатов и их применения.

На этом этапе решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической, так и в целях усовершенствования моделей.

Перечисленные этапы экономика – математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности могут иметь место в возвратной связи этапов.

Вопросы для контроля по 4 теме :

1. Суть процесса моделирования, основной принцип моделирования.

2. Практические задачи экономико-математического моделирования;

цели моделирования.

3. Исследование операций, основные этапы и особенности процессов

исследования операций.

4. Особенности многокритериальных задач, классификация Саймона,

основное отличие многокритериальных задач от задач исследования операций.

5. Понятие множества Эджворта-Парето, смысл выделения этого множества.

6. Классификация Г.Саймона.

7. Постановка задачи линейного программирования.

8. Понятие глобального критерия .

9. Что такое человека - машинные процедуры и их классификация .

10. Особенности социально-экономических систем, которые необходимо учитывать при моделировании.

Для проведения практических занятий студенты должны:

1.Привести пример выделения множества Э-П из нескольких

альтернатив.

. 2. Привести пример использования глобального критерия на конкретной ситуации оценки как минимум трех альтернатив.

Темы 5

Оценка сложных систем в условиях риска и неопределенности

Определенность или детерминированность процессов имеет следующую характеристику ситуация → исход, такая зависимость носит название функциональной.

S = V*T

Неопределенность возникает в том случае, когда ситуация имеет несколько исходов. О неопределенности говорят в случае, если вероятность каждого исхода неизвестна. Если можно оценить вероятность каждого исхода, то говорят об условиях риска. Система, имеющая неопределенность характеризуется следующими чертами:

1. Система содержит много звеньев, преследующие собственные интересы (действие субъективно), что приводит к большому разнообразию поведения систем.

2. Управление системой, должно включать в себя удовлетворение целей подсистем, а не только достижение глобальной цели.

3. При принятии решения часто нельзя формализовать логические суждения лиц, принимающих решение.

4. В сложной системе возникают проблемы, которые нельзя четко структурировать.

Исследования показали, что в зависимости от характера неопределенности все модели по принятию решений можно разделить на игровые и статистически неопределенные. В игровых операциях неопределенность формируется за счет сознательных действий противника, для исследования таких операций используется теория игр.

В настоящее время нет универсального критерия по выбору решения для задач неопределенных статически. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем.

Обычно задачи записываются в матрице вида:

а \ n	n1		n k	K (aj)
a1 a m	k 11		K mk

a = (а1…аm) – вектор управляемых параметров, определяющий свойства систем

n = (n1...nk) – вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки.

Кij – значение эффективности системы аi для состояния обстановки nj

1. Основным требованием является оптимальное решение, которое не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы.

2. Оптимальное решение не должно становится не оптимальным при добавлении новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы.

В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее часто в неопределенной ситуации используются критерии:

1. Среднего выигрыша

2. Достаточного основания (критерий Лапласа)

3. Осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

4. Пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

5. Минимального риска (критерий Севиджа)

Пример

Необходимо оценить один из трех программных продуктов аi для борьбы с одним из четырех программных воздействий kj. Матрица эффективности выглядит следующим образом.

а\к	к1	к2	к3	к4
а1	0,1	0,5	0,1	0,2
а2	0,2	0,3	0,2	0,4
а3	0,1	0,4	0,4	0,3

К = ∑ Р iКij

1. Критерий среднего выигрыша

Предполагает задание вероятностей состояния обстановки Рi. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание), оценок эффективности по всем состояниям обстановки. Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.

Так предположим, что вероятность применения противником программных воздействий Р1 = 0,4; Р2=0,1; Р3=0,1; Р4=0,3

К(а1)=0,4*0,1+0,5*0,2+0,1*0,1+0,3*0,2=0,21

К(а2)=0,4*0,2+0,2*0,3+0,1*0,2+0,3*0,4=0,28

К(а3)=0,4*0,1+0,2*0,4+0,1*0,4+0,3*0,3=0,25

Оптимальное решение по данному критерию - программный продукт а2 .

2. Критерий Лапласа (достаточное основание)

Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное.

К=1/к∑Кij, для каждого Ұ, а оптимальное значение указывает максимальную сумму К.

Р1=0,25; Р2=0,25; Р3=0,25; Р4=0,25

К(а1)=0,25*(0,1+0,5+0,1+0,2)=0,225

К(а2)=0,25*(0,2+0,3+0,2+0,4)=0,275

К(а3)=0,25*(0,1+0,4+0,4+0,3)=0,3

Оптимальное решение - программа а3

Замечание – критерий Лапласа – это частный случай среднего выигрыша.

3. Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.

Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем

К(аi) minj Кij.

Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности

Копт=maxi(minjKij) Ұij

К(а1)=min(0,1;0,5;0,1;0,2)=0,1

К(а2)=min(0,2;0,3;0,2;0,4)=0,2

К(а3)=min(0,1;0,4;0,4;0,3)=0,1

Оптимальное решение – продукт а 2

В любом состоянии обстановки выбранная система покажет результат не хуже найденного максимина. Однако такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия.

4. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешанное с помощью коэффициента α суммой максимальных и минимальных оценок.

К(ai)= α maxj Kij+(1- α)*minj Kij

0≤ α≤1

Копт=max { α maxj Kij+(1+ α)*minj Kij}

d=0,6

К(а1)=0,6*0,5+(1-0,6)*0,1=0,34

К(а2)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,2=0,32

К(а3)=0,6*0,4+(1-0,6)*0,1=0,28

Оптимальное решение – продукт а1

При α=0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина. На практике используются значения α (0,3÷0,7).

5. Критерий минимального риска (критерий Севиджа)

Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

∆ Кij=maxiKij-Kij

После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального решения критерия.

K(ai)=maxj∆ Кij

Kопт=mini (maxj∆ Кij)

Матрица потерь

а\к	к1	к2	к3	к4	к(аi)
а1	0,1	0	0,3	0,2	0,3
а2	0	0,2	0,2	0	0,2
а3	0,1	0,1	0	0,1	0,1

Оптимальное решение – продукт а3

Комментарий: критерий отражает сожаления по поводу того, что выбранная система не оказалась лучшей при определении состава обстановки. Например, если выбрать программу а1 , а угрозу n3 , то сожаление, что не выбрана лучшая из программ а3 составит 0,3.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по ряду критериев. На выбор каждого из них может влиять ряд факторов:

а) природа конкретных операций и ее цель

- в одном случае допустим риск

- в другом гарантированный результат

б) причина неопределенности

- закон природы

- разумные действия противника

в) характер ЛПР

- склонность добиться большего идя на риск

- всегда осторожные действия

Обычная форма записи сравнительных результатов

а\к	к1	к2	к3	к4	Ср. выигрыш	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а1	0,1	0,5	0,1	0,2	0,21	0,225	0,1	0,34	0,3
а2	0,2	0,3	0,2	0,4	0,28	0,275	0,2	0,32	0,2
а3	0,1	0,4	0,4	0,3	0,25	0,300	0,1	0,28	0,1

Тип критерия для выбора рационального варианта выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем.

Вопросы по теме 5:

1. Критерий Севиджа

2. Критерий Гурвица

3. Критерий среднего выигрыша

4. Критерий Лапласа

5. Критерий Вальда, отличия каждого из критериев от другого.

ТЕМА 6

ПРОЦЕДУРА ВЫБОРА ОБЪЕКТОВ ПО МНОГОМЕРНЫМ КРИТЕРИЯМ

или метод попарного сравнения альтернатив( РИПСА)

Часто встречается задача, когда необходимо выбрать лучший объект из нескольких, при условии, что существует набор критериев, их оценки или объекта оцениваются несколькими экспертами.

Рассмотрим:

Е=е_i, i=1,n – множество элементов

К=k_j, j=1,n – множество критериев

α_i^k – оценка, составленная е_i по К

Рк – множество состояний объектов, который допускает критерий k_{j ,} имеет структуру шкалы.

По этим условиям можно сравнить объекты относительно одного критерия на основании сравнения их состояния, т.е. оценок, соответствующих этому критерию.

α_i^k > α_j^k - ,будет означать, что по критерию К объект е_i предпочтительней, чем е_j

е_i >е_j

Если оценки объектов по разным критериям противоречивы, то для сравнения таких объектов можно предложить процедуру, которая базируется на особых принципах. Согласно этой процедуре всё множество критериев К можно разделить на два подмножества.

С_ij – множество критериев, согласно которым е_i по крайней мере, не хуже чем е_j

D_ij – множество критериев, для которых это условие не выполняется.