2. Выравнивание статистических рядов

Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элемент случайности, связанные с тем, что число измерений ограничено, что недостаточно корректно произведены измерения и др. На практике необходимо считаться с тем, что любому статистическому распределению свойственны элементы случайности. Поэтому при обработке статистического материала часто приходиться решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала. Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов.

Подбор закона распределения (принятие гипотезы о законе распределения), с достаточной точностью описывающего распределение случайной величины, производят, исходя из физической сущности исследуемого процесса или явления. Дополнительными признаками могут служить внешний вид гистограммы или многоугольника распределения и значения числовых характеристик статистического распределения случайной величины.

Так, для нормального распределения все рассеивания (с точностью до 0,1%) укладываются на участке , для экспоненциального (показательного) распределения , а для пуассоновского распределения .

Для рассматриваемой статистической совокупности гистограмма и многоугольник распределения имеют вид, приведенный на рис. 3.1. по их внешнему виду можно предположить, что осевые нагрузки можно описать нормальным законом распределения.

Для проверки гипотезы о законе распределения измеряемой случайной величины производят расчет координат теоретической кривой распределения и проверку ее согласия со статистическим распределением.

Координаты теоретической кривой распределения рассчитываются для граничных значений разрядов статистического ряда по его числовым характеристикам путем нахождения вероятности Р попадания измеряемой случайной величины в определенный интервал.

3.3 Алгоритм построения статистического ряда и определения его числовых характеристик

Для нормального закона распределения измеряемой случайной величины Х вероятность попадания ее в j-й интервал определяется по формуле:

(3.12) (3.12)

где x_j^H - x_j^B – соответственно нижняя и верхняя границы значений случайной величины Х в j-ом разряде статистического ряда;

- стандартная функция Лапласа

, (3.11) (3.13)

значения которой табулированы в зависимости от аргумента U_j,

, (3.12) (3.14)

где j – номер разряда статистического ряда (j=1,2…k).

Например, для первого разряда статистического распределения (таблица 3.1.), описываемого нормальным законом (m_x^*= т/с, S_x^* = т/с) вероятность нахождения осевой нагрузки грузового поезда Х в интервале 8 – 12 будет равна:

Таблица 3.5 Расчет координат теоретической кривой распределения случайной величины

j	xjH - xjB	xjГР		Ф(UjГР)	Рj		hj		fj				Рj*		Fj*		Fj		R=( Fj*- Fj)
1	2	3	4	5	6		7		8		9		10		11		12		13
1	8–12	8	-2,13	-0,4834	0,0657		5		5		0,0125		0,0625		0,0625		0,0657		-0,0032
		12	-1,39	-0,4177
2	12 –16	16	-0,64	-0,2389	0,1788		14		14		0,0065		0,1750		0,2375		0,2445		-0,0070
3	16 – 20	20	0,10	0,0398	0,2787		22		24		0,1302		0,3000		0,5375		0,5232		0,0143
4	20 – 24	24	0,85	0,3023	0,2625		21		18		0,4286		0,2250		0,7625		0,7857		-0,0232
5	24 – 28	28	1,60	0,4452	0,1429		11		13		0,2151		0,1625		0,9250		0,9286		-0,0036
6	28 – 32	32	2,34	0,4904	0,0452		4		6		1,5718		0,0750		1,0000		0,9738		0,0262
Итого						0,9797		78		80		2,33		0,9738

Пример расчета первой строки таблицы 3.3:

Рисунок 3.3 – Теоретическое распределение случайной величины

Подсчитывается значение критерия Коломогорова (λ)

где	Rmax	–	наибольшее значение абсолютной разности;
		–	общее число принятых к исследованию наблюдений.

По значению λ определяется вероятность Р_λ того, что полученные отклонения вызваны случайными колебаниями измеряемой величины в выборке.

Табличная схема расчета согласованности теоретической и статистической кривых по критерию Колмогорова на примере нормального закона распределения осевых нагрузок приведена в таблице 3.3. (графы 1,2,6,10-13).

Полученное значение Р_λ свидетельствует о хорошей сходимости теоретического и статистического распределений. Значит, принятая гипотеза о теоретическом законе распределения верна, число измерений достаточно, пересчет характеристик не требуется.

Расчет координат теоретической кривой распределения случайной величины удобно производить с помощью табличной схемы. Так, например, в таблице 3.5 (графы 1 – 6) приведена схема расчета координат теоретической кривой нормального закона, описывающего распределение осевых нагрузок (таблица 3.3).

По рассчитанным значениям координат Р_j строится теоретическая кривая распределения случайной величины (см. рис. 3.1).

Между теоретической и статистической кривыми распределения неизбежны расхождения. Они могут вызываться случайными отклонениями и колебаниями измеряемой величины или другими факторами, которые не были учтены в теоретическом распределении. Эти отклонения могут быть также вызваны неудачным подбором теоретической кривой распределения.