3. Введение в математический анализ
101-105.
Построить график функции
преобразованием графика функции
101.
102.
103.
104.
105.
106-110.
Построить график функции
преобразованием
графика функции
.
106.
107.
108.
109.
110.
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111.
а)
б)
в)
г)
112.
а)
б)
в)
г)
113.
а)
б)
в)
г)
114.
а)
б)
в)
г)
115.
а)
б)
в)
г)
116.
а)
б)
в)
г)
117.
а)
б)
в)
г)
118.
а)
б)
в)
г)
119.
а)
б)
в)
г)
120.
а)
б)
в)
г)
121-130.
Задана функция
и два значения аргумента
и
.
Требуется : 1) установить, является ли
данная функция непрерывной или разрывной
для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти ее
пределы в точке разрыва слева и справа;
3) сделать схематический чертеж.
121.
,
,
.
122.
,
,
.
123.
,
,
.
124.
,
,
.
125.
,
,
.
126.
,
,
.
127.
,
,
.
128.
,
,
.
129.
,
,
.
130.
,
,
.
131-140.
Задана функция
.
Найти точки разрыва функции, если они
существуют. Сделать чертеж.
,
;
131.
,
;
,
≥1.
, 
≤-1;
132.
, 
≤1;
, 
.
, х≤0;
133.
, 
;
, х≥2.
, х≤0;
134.
, 
;
х, х≥1.
-х, х≤0;
135.
, 
;
х+1, 
.
-х, 
;
136.
, 
;
, 
.
,
;
137.
, 
;
х, 
.
, 
;
138.
, 
;
, 
.
, 
;
139.
, 
;
2, 
.
, 
;
140.
, 
;
1
, 
.
4. Производная и ее приложения
141-150.
Найти производные
данных функций.
141.
а)
;
б)
; в)
;
г)
;
д)
.
142.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
143.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
144.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
145.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
146.
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
147.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
148.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
149.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
150.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
151-160.
Найти
и
для заданных функций: а)
;
б)
,
.
151.
а)
;
б)
;
.
152.
а)
; б)
;
.
153.
а)
; б)
;
.
154.
а)
;
б)
;
.
155.
а)
;
б)
;
.
156.
а)
;
б)
;
.
157.
а)
;
б)
;
.
158.
а)
;
б)
;
.
159.
а)
;
б)
;
.
160.
а)
;
б)
;
.
161-170.
Применяя формулу Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа к функции
, вычислить значение
с точностью до 0,001.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171-180.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на отрезке
.
171.
;
.
172.
; 
.
173.
; 
.
174.
; 
.
175.
; 
.
176.
; 
.
177.
; 
.
178.
; 
.
179.
; 
.
180.
; 
.
181. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?
182. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
183.
Прямоугольник вписан в эллипс с осями
и
.
Каковы должны быть стороны прямоугольника,
чтобы его площадь была наибольшей?
184. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
185. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
186. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
187. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
188.
В точках A и B, расстояние между
которыми равно а, находятся источники
света соответственно с силами
и
.
На отрезке AB найти наименее освещенную
точку
.
Замечание.
Освещенность точки источником света
силой F обратно пропорциональна
квадрату расстояния r ее от источника
света:
.
189. Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы ширина и высота этого сечения ,чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?
Замечание.
Сопротивление балки на изгиб пропорционально
произведению ширины x ее поперечного
сечения на квадрат его высоты
190.Требуется
изготовить открытий цилиндрический
бак данного объема V. Стоимость
квадратного метра материала, идущего
на изготовление дна бака, равно
руб., а стенок -
руб. Каковы должны быть радиус дна и
высота бака, чтобы затраты на материал
для его изготовления были наименьшими.