3. Критерії компактності.

Можна довести загальну теорему.

Теорема: Для того щоб метричний простір був компактним необхідно і достатньо, щоб він був водночас:

1)цілком обмеженим;

2)повним.

Доведення.

1. Необхідність. 1). Доведемо необхідність повної обмеженості от супротивного. Припустимо, що не повністю обмежене. Тоді існує , таке, що для нього не існує скінченої - сітки. Візьмемо довільну точку . Тоді існує , така, що ( інакше точка буде - сіткою для ). Далі, в існує : та , інакше пара точок , буде - сіткою для . Якщо точки зафіксовані , ... , , то оберемо точку ,таку що . Ця побудова дає нескінчену послідовність , ... , , ... , яка не має жодної збіжної підпослідовності, тому що . Тоді не компактне. Прийшли до протиріччя , отже повна обмеженість доведена.

2). Доведемо необхідність повноти. Нехай - фундаментальна послідовність в , яка не має в границі, тоді ця послідовність в не має жодної збіжної підпослідовності, що суперечить компактності .

2. Достатність.

Припустимо, що простір повний та для скінчена - сітка. Візьмемо послідовність чисел _, та для кожного побудуємо скінчену - сітку для . Візьмемо довільну нескінчену множину . Біля кожної з точок побудуємо замкнені кулі радіуса . Тоді кожна точка з потрапить в одну з цих куль. Тому що число куль скінчене, то знайдеться хоч би одна куля з нескінченою кількістю точок з . Позначимо цю підмножину множини за . Візьмемо точки та побудуємо біля кожної з цих точок замкнені кулі радіуса . Як і раніше, знайдемо нескінчену множину , яка цілком знаходиться в одній з побудованих куль радіуса . Якщо продовжити цій процес , то отримаємо послідовність нескінчених підмножин множини , причому підмножина міститься у замкненої кулі радіуса і отже відстань між будь - якими точками з не перевищує .

Візьмемо точку , точку , яка відрізняється від , точку , яка відрізняється від та , і далі. Тоді отримаємо послідовність точок з . Ця послідовність фундаментальна, тому що , для кожного натурального . Отже при , . Тому що - повний простір, то ця послідовність збігається до деякої точки та компактність простору доведена.

Теорема ( Хаусдорфа ): Для того щоб множина з повного метричного простору була перед компактною (відносно компактною), необхідно і достатньо, щоб вона була цілком обмеженою.

4. Компактність в різних просторах.

Питання про компактність множини у метричному просторі виникає дуже часто в аналізі. Воно виникає, наприклад, у задачах про екстремум функції , коли необхідно встановити чи існує екстремум, або при з'ясуванні збіжності того чи іншого чисельного методу при вирішенні задачі _. Якщо застосовувати безпосередньо теорему Хаусдорфа, то виникають складнощі. Тому на практиці використовують більш зручніші критерії компактності або відносної компактності множин у конкретних просторах.

1. В скінчено вимірному просторі виконується твердження.

Теорема: В скінчено вимірному просторі всяка обмежена множина відносно компактна.

Ця теорема слідує з теореми Больцано-Вейерштрасса для простору : в цьому просторі всяка обмежена послідовність містить підпослідовність що збігається.

2. Розглянемо простір неперервних функцій .

Означення: Сімейство функцій , визначених на деякому відрізку називається рівно степеневе неперервним, якщо для будь-якого знайдеться таке, що , для будь-яких , таких що та для будь-якої функції .

Означення: Сімейство функцій , визначених на деякому відрізку , називається рівномірно обмеженим, якщо існує таке число , що , для будь-якого та для кожної .

Теорема Арцела : Для того щоб сімейство неперервних функцій, визначених на відрізку , було перед компактним в , необхідно і достатньо, щоб це сімейство було рівномірно обмежене і рівно степеневе неперервним.

Доведення.

1. Необхідність.Нехай сімейство перед компактно в . Тоді за теоремою Хаусдорфа сімейство цілком обмежено та для кожного в сімействі існує скінчена - сітка . Кожна з функцій як неперервна на відрізку, обмежена : . Покладемо . За означенням - сітки, для маємо, що існує хоч би одне , таке

.

Тоді

, та рівномірна обмеженість доведена.

Далі, тому що кожна з функцій , які належать до - сітки, неперервна, отже рівномірно неперервна на , для даного існує таке , що , коли .

Покладемо . Для довільної функції оберемо так, щоб , тоді при будемо мати

. Рівно степеневу неперервність доведено.

2. Достатність.Нехай - рівномірно обмежене, рівно степеневе неперервне сімейство функцій. Відповідне до теореми Хаусдорфа сімейство функцій буде перед компактним в , якщо для в існує скінчена - сітка. Нехай і нехай обрано так, що при для . Зробимо розбиття відрізка на вісі точками на проміжки довжиною та проведемо через ці точки вертикальні прямі. Зробимо розбиття відрізка на вісі точками на проміжки довжиною та проведемо через ці точки горизонтальні прямі. Таким чином прямокутник , розіб'ється на комірки з горизонтальною стороною і вертикальною стороною . Поставимо кожній функції ломану з вершинами у точках , тобто в вузлах побудованої мережі , яка відхиляється у точках от функції менше ніж на (існування такої ломаної очевидне ). Тому що за побудовою , , , то . Тому що між точками та функція лінійна, то для . Нехай - довільна точка відрізка і - найближча до зліва з обраних нами точок розбиття. Тоді . Отже, ломані по відношенню до створюють -сітку. Число їх скінчене. Таким чином, - цілком обмежене. Теорему повністю доведено.

Теорема: Образом компактної множини при неперервному відображенні є компактна множина.

Доведемо аналогічну теорему для відносно компактних множин.

Теорема: Образом відносно компактної множини при неперервному відображенні є відносно компактна множина.

Доведення. Нехай – неперервне відображення, – відносно компактна множина. Розглянемо послідовність точок із множини : , . Так як множина відносно компактна, то існує підпослідовність . Так як відображення – неперервне, то . Значить, для множини виконана умова відносної компактності.