Тема. Компактність у метричних просторах. Критерій компактності в різних метричних просторах.

1. Компактність.

Означення: Множина в метричному просторі називається компактною, якщо з будь-якої нескінченої підмножини можна виділити послідовність , що збігається до деякої границі .

Означення: Множина , що лежить в деякому метричному просторі , називається передкомпактною, чи відносно компактною, якщо його замикання в компактно.

Означення: Множина називається обмеженою, якщо вона міститься в деякій кулі.

Твердження: Будь-яка компактна множина є замкненою.

Доведення. У метричному просторі будь-яка підпослідовність збіжної послідовності збігається до тієї же границі, отже границя послідовності також належить множині , тобто множина _{замкнена.}

Теорема: Будь-яка відносно компактна множина , що лежить в деякому метричному просторі , є обмеженою.

Доведення. Припустимо, що множина є відносно компактною, але не обмеженою, і нехай це довільна точка з . Тому що не обмежена, то існує точка ,яка лежить поза кулею . Покладемо . Тому що не обмежена, то . Покладемо і далі. Отримаємо послідовність , що , якщо , яка не містить жодної збіжної підпослідовності, що суперечить відносної компактності множини .

Означення: Простір називається компактним ( компактом ), якщо будь-яка нескінчена підмножина простору містить послідовність, що збігається до деякого елементу з .

Можна довести, що компакт є повним метричним простором.

Приклади компактних і не компактних множин.

1. Нехай з метрикою, яка задана в просторі , тоді за теоремою Больцано-Веєйрштраса буде компактним.

2. Простір не компактний , тому що в ньому множина не містить жодної збіжної підпослідовності.

3. Простір не компактний, аналогічно , але будь-яка замкнена обмежена множина є компактною за теоремою Больцано-Веейрштрасса .

4. В просторі всякий відрізок буде компактний, тому що простір скінчено вимірний, а даний відрізок є замкненою і обмеженою множиною (За теоремою Больцано-Веейрштрасса в скінчено вимірному просторі будь-яка замкнена обмежена множина є компактною).

5. Простір не компактний , більше того, в ньому існують обмежені замкнені, але не компактні, множини.

6. Простір не компактний , в ньому існують обмежені замкнені, але не компактні, множини. Такою множиною є одинична куля . Дійсно, розглянемо таку послідовність точок з : , , ... ,маємо при . Тому послідовність та всяка її підпослідовність не збігається, що і доводить не компактність кулі .

7. Прикладом компактної множини у просторі є основний паралелепіпед координатного гільбертова простору, який представляє з себе сукупність точок , координати яких задовольняють умові . Компактність цієї множини слідує з загальної ознаки компактності у просторі , ( ).

В метричному просторі компактність тісно пов'язана з повною обмеженістю.

2. Повна обмеженість.

Нехай деяка множина у метричному просторі , - деяке додатне число.

Означення: Множина з називається - сіткою для множини , коли для будь-якої точки знайдеться хоч би одна точка ,така що , тобто

.

Приклад, ціле чисельні точки утворюють на площині -сітку.

Означення: Множина називається цілком обмеженою (повністю обмеженою), якщо для будь-якого існує скінчена - сітка.( скінчена - сітка).

Твердження: Цілком обмежена множина є обмеженою.

Доведення. Як сума скінченого числа обмежених множин.

Обернене в загальному випадку не вірне.

Зауваження. Якщо множина цілком обмежена,то її замикання також цілком обмежене.

Твердження: Якщо метричний простір повністю обмежений, то він сепарабельний.

Доведення. Дійсно, побудуємо для кожного в скінчену - сітку. Сума їх по всім представляє з себе злічену всюди щільну множину в .

Приклади.

1. В - вимірному метричному евклідовому просторі повна обмеженість співпадає з звичайною обмеженістю, тобто можливістю помістити дану множину у велику кулю або куб.

Дійсно, якщо зробити розбиття кубу на маленькі кубики з ребром , то вершини цих кубиків будуть утворювати скінчену - сітку в початковому кубі, отже і в будь-якій множині, що знаходиться в цьому кубі.

2. Одинична сфера у просторі є прикладом обмеженої, але не цілком обмеженої множини. Дійсно, розглянемо точки

,

,

,

... .

Тоді при . Отже, в не може бути скінченої - сітки для жодного .

3. Розглянемо в просторі множину точок ,,, ... , , ... . Цю множину називають основним паралелепіпедом або " гільбертовою цеглою " простору . Це приклад нескінченно вимірної цілком обмеженої множини.

Доведення. Нехай задане . Оберемо , таке що

,

тоді кожної точці

₍₁₎

з поставимо у відповідність точку

₍₂₎

з тієї ж множини.

Тоді

.

Множина точок виду (2) з цілком обмежена, як обмежена множина в - вимірному просторі. Оберемо в скінчену - сітку. Зрозуміло, що вона буде також - сіткою в .