Аксиоматическое построение исчисления предикатов.

Можно рассматривать независимые системы аксиом. В этом случае вывод значимых утверждений оказывается достаточно сложным. Поскольку нашей задачей является не построение лаконичной теории, а иллюстрация подхода к построению логических теорий, мы не будем рассматривать независимые аксиомы.

В логическую систему мы берём все аксиомы исчисления высказываний. Тогда достаточно добавить правила и законы для кванторов.

Кванторные правила.

1. Правила квантования предикатов.

R1. Правило подстановки предикатов.

Вместо всех вхождений пропозициональных переменных в формулу можно подставить произвольный предикат или формулу. Вместо всех вхождений некоторого предиката Р в формулу можно подставить произвольный предикат.

R2. Правило подстановки свободных предметных переменных.

Формула Ф(х), где х - свободная предметная переменная, эквивалентна формуле Ф(y), где y - свободная предметная переменная в Ф, Ф(х) не содержит y.

R3. Правило опускания и введения квантора общности.

Ф(х) эквивалентно хФ(х).

R4. Правило переименования связанных предметных переменных.

хФ(х) yФ(y) (Все вхождения переменной х заменяются на вхождения переменной y, которая не входила в Ф(х)).

Законы квантования предикатов

L1.1. xP(x) P(y)

P(y) xP(x)

L1.2. Законы вырожденных кванторов

xPP ;  xP P, где P не зависит от x.

2. Квантование эквивалентности.

L2.1. x(P(x)  Q(x))  (xP(x) x Q(x))

L2.2. x(P(x)  Q(x))  (xP(x) x Q(x))

3. Квантование импликации.

L3.1. x(P(x)  Q(x))  (xP(x) x Q(x))

L3.2. x(P(x) Q(x))  (xP(x) x Q(x))

L3.3. (x P(x)  x Q(x))  x(P(x)  Q(x))

L3.4. x (P(x)  Q(x))  ( x P(x) x Q(x))

Законы постоянных.

L3.5. x(P  Q(x))  (P x Q(x))

x (P(x)  Q)  (xP(x)  Q)

x (P  Q(x))  (P  x Q(x))

x (P(x)  Q)  ( x P(x)  Q)

4.Квантование конъюнкции и дизъюнкции.

L 4.1. Квантование родственных операций.

x(P(x) & Q(x))  xP(x) & xQ(x)

x (P(x)Q(x))  x P(x)  x Q(x)

L 4.2. Квантование неродственных операций.

xP(x)  xQ(x)  x(P(x)  Q(x))

x (P(x) & Q(x))  x P(x) & x Q(x)

L 4.3. x(P(x)  Q(x))  xP(x)  xQ(x)

x P(x) & x Q(x)  x (P(x) & Q(x))

L 4.4. Законы постоянных.

x(P & Q(x))  P & xQ(x)

x (P  Q(x))  P  x Q(x)

x (P & Q(x))  P & x Q(x)

x (P  Q(x))  P  x Q(x)

L 5. Законы отрицания

______ ____

xP(x)  x P(x)

______ ____

x P(x)  x P(x)

L 6. Законы кратного квантования.

xyP(x,y)  yxP(x,y)

xy P(x,y) yx P(x,y)

xy P(x,y)  yx P(x,y)

L 7. Диагональное квантование.

L 7.1 xyP(x,y)  xP(x,x)  yx P(x,y)

xy P(x,y)  x P(x,x)  yx P(x,y)

Метод семантических таблиц

Один из методов проверки общезначимости формул – метод семантических таблиц Бэта.

Общезначимость формул доказывается от противного. Предполагаем, что формула не общезначима, и приходим к противоречию. В методе строится таблица, в левой части которой истинные формулы, в правой –ложные.

Вывод формулы V из посылок U₁,U₂,…,U_n – замкнутая семантическая таблица, исходные формулы которой в левом столбце - U₁,U₂,…,U_n, в правом – V.

Если же мы проверяем общезначимость формулы вида АВ, то мы помещаем в левый столбец А, в правый – В.

Правила метода:

1. Если одна и та же формула находится в обоих столбцах одной и той же (под)таблицы, то эта (под)таблица замкнута, и если две подтаблицы одной и той же (под)таблицы замкнуты, то эта (под)таблица замкнута.

2. а) Если появляется в левом столбце некоторой (под)таблицы, то U вводится в сопряжённый правый столбец (т.е. правый столбец той же самой (под)таблицы).

б) Если появляется в правом столбце некоторой (под)таблицы, то U вводится в сопряжённый левый столбец

3. а) Если формула U&V появляется в левом столбце некоторой (под)таблицы, то в тот же самый столбец вводится как U, так и V.

б) Если формула U&V появляется в правом столбце некоторой (под)таблицы, то эта (под)таблица расщепляется на две подтаблицы, в правые столбцы которых мы вводим, соответственно, U и V. Говорят, что подтаблица подчинена тем (под)таблицам, от расщепления которых она произошла. Считается, что формулы в обоих столбцах (под)таблицы помещаются в соответствующие столбцы каждой подтаблицы, которая ей подчинена.

4. а) Если формула UV появляется в левом столбце некоторой (под)таблицы, то эта (под)таблица расщепляется на две подтаблицы, в левые столбцы которых мы вводим, соответственно, U и V.

б) Если формула UV появляется в правом столбце некоторой (под)таблицы, , то в тот же самый столбец вводится как U, так и V.

5. а) Если формула UV появляется в левом столбце некоторой (под)таблицы, то эта (под)таблица расщепляется на две подтаблицы, в левый столбец одной мы вводим V, в правый столбец другой - U.

б) Если формула UV появляется в правом столбце некоторой (под)таблицы, то V вводится в тот же самый, а U – в сопряженный левый столбец.

6. а) Если формула x U(x) появляется в левом столбце, то в тот же самый столбец вводится U(р) для каждого параметра р, который был или будет введён.

б) Если формула "x U(x) появляется в правом столбце, то вводится новый параметр р, и помещаем U(р) в тот же самый столбец.

7. а) Если формула $x U(x) появляется в левом столбце, то вводится новый параметр р, и помещаем U(р) в тот же самый столбец

б) Если формула $x U(x) появляется в правом столбце, то в тот же самый столбец вводится U(р) для каждого параметра р, который был или будет введён

8. Может оказаться, что невозможно ввести первый индивидный параметр р по правилам 6б и 7а. Тогда вводим первый индивидный параметр, чтобы можно было применять правила 6а и 7б.

Рассмотрим пример.

Предварённые формы. Говорят, что формула представлена в предварённой форме, если она имеет вид Q M, где Q – кванторная приставка, а М – бескванторная матрица.

Формула представлена в минисферной форме, если все кванторы стоят непосредственно перед своей областью действия.