[Править] Анализ эффективности

Начнём c небольшого примера. Пусть у нас есть канал с уровнем ошибок p = 10 ^{− 6}. Если мы хотим исправлять единичные ошибки при передаче блоками по 1023 = 2¹⁰ − 1 бит, то среди них потребуется 10 контрольных бит: 1, 2, \dots, 2⁹. На один блок приходится 1013 бит полезной информации. При передаче 1000 таких блоков потребуется контрольных бит.

В тоже время для обнаружения единичной ошибки достаточно одного бита чётности. И если мы применим технику повторной передачи, то на передачу 1000 блоков надо будет потратить 1000 бит дополнительно и примерно из них придется пересылать повторно. То есть на 1000 блоков приходится один попорченый, и дополнительная нагрузка линии составляет , что меньше . Но это не значит, что код Хемминга плох для такого канала. Надо правильно выбрать длину блока — если n > 3444, то код Хемминга эффективен.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть нам нужно передать информацию M бит. Разобьем её на L блоков по m = M / L бит и будем передавать двумя способами — с помощью кодов Хемминга и без них. При этом будем считать, что в обоих случаях осуществлено предварительное кодирование, позволяющее с вероятностью определять ошибочность передачи. Это осуществляется путем добавления «лишней» информации. Обозначим коэффициент раздувания для этого кодирования k_ε(m). После этого кодирования каждый блок несёт информацию m' = k_ε(m)m

1) Без кода Хемминга.

Если пересылать информацию блоками по m' бит с повторной пересылкой в случае обнаружения ошибки, то получим, что в среднем нам придётся переслать D бит:

Где P_r = (1 − (1 − p)^m')(1 − ε) — вероятность повторной передачи равная вероятности ошибки умноженной на вероятность того, что мы её заметим. Коэффициент раздувания равен

2) С кодом Хемминга.

При кодировании методом Хемминга слова длины m' получается слово длины n бит:

(eq:hnm)

Для отдельного блока вероятность безошибочной передачи равна P₀ = (1 − p)ⁿ. Вероятность одинарной ошибки P₁ = np¹(1 − p)^{n − 1}. Вероятность того, что произошло более чем одна ошибка, и мы это заметили

P_r = (1 − P₀ − P₁)(1 − ε) = 1 − ε − (1 − ε)(1 − p)^{n − 1}(np + 1 − p)

— в этом случае требуется повторная передача кадра. Количество передаваемых данных:

И коэффициент раздувания

где n(m) неявно определённая с помощью ((eq:hnm)) функция. Удобно записать соответствующие коэффициенты полезного содержания:

, m' = n − log ₂(n + 1) (eq:kps)

Легко обнаружить что при n > 3444 и p = 10 ^{− 6} код Хемминга оказывается эффективнее, то есть KPS_H / KPS > 1

\begin{figure}[h!] \psfrag{knc}{кпс} \psfrag{n}{n} \centering\includegraphics[clip=true, width=0.48\textwidth]{pictures/kps.eps} \centering\includegraphics[clip=true, width=0.48\textwidth]{pictures/kps2.eps} \caption{ KPS(n,p,ε) — Коэффициент полезного содержания в канале с помехами как функция размера элементарного блока.} \parbox{0.85\textwidth}{\small Светлый график — без кодирования Хемминга;\\ Темный график — с кодированием Хемминга; \\Параметры: ; p = 10 ^{− 6}.} (fig:kps) \end{figure}

\begin{figure}[h!] \psfrag{C}{C} \psfrag{p}{p} \centering\includegraphics[clip=true, width=0.75\textwidth]{pictures/kpseff.eps} \caption{C(p,ε) — максимальный коэффициент полезного содержания в канале с помехами как функция уровня помех.} \parbox{0.97\textwidth}{ \small Светлый график — без кодирования Хемминга;\\ Темный график — с кодированием Хемминга;\\Тонкий график — теоретический предел, задаваемый функцией C(p)\\Параметры: ε = 10 ^{− 6}.} (fig:kpseff) \end{figure}

Значение KPS_ε(n) используемое в формулах ((eq:kps)) можно оценить как

Напомним, что ε есть параметр желаемой надёжности передачи — чем меньше ε, тем надёжнее передача. По определению ε = P_miss / (1 − P₀) — вероятности ошибочной передачи блока при условии, что «контрольная сумма сошлась» и кадр засчитан правильно переданным. Такое выражение для получается из формулы

Но это безусловно лишь оценочная формула. Оптимальное значение KPS_ε значительно сложнее и зависит от p.

Из графика на рисунке (fig:kps) хорошо видно, что при больших n код Хемминга начинает работать на пользу.

Но зависимость КПС от n не есть критерий эффективности кода. Эффективность кода определяется функцией

C(p,ε) = min _nKPS(p,n,ε)

На рисунке (fig:kpseff) показан график этой функции и из него ясно, что код Хемминга можно использовать с пользой всегда — при любых ε и p, если у нас есть возможность выбирать подходящее n.