Коллоквиум 1 семестр
.pdfПрограмма коллоквиума по математическому анализу (1 – 4 группы 1 курса физического факультета, ноябрь 2013 года)
1.Числовые множества. Аксиомы действительных чисел.
2.Арифметические операции с комплексными числами. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формулы Муавра и Эйлера.
3.Вывод формулы для бинома Ньютона. Биномиальные коэффициенты.
4.Ограниченные и неограниченные множества. Теорема о существовании sup и inf для ограниченного множества.
5.Принцип вложенных отрезков.
6.Счётные и несчётные множества. Доказательство счётности множества целых и рациональных чисел.
7.Арифметическая и геометрическая прогрессии.
8.Определение предела последовательности. Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.
9.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение, примеры и свойства.
10.Арифметические свойства предела последовательности. 11.Предельный переход в равенствах и неравенствах. Лемма о 2-х мили-
ционерах.
12.Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
13.Число Эйлера e.
14.Теорема Больцано − Вейерштрасса.
15.Критерий Коши для последовательностей.
16.Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы. 17.Графики элементарных функций (степенных, показательных, логариф-
мических, тригонометрических, гиперболических).
18.Определение предела функции. Доказательство эквивалентности определений предела функции по Коши и по Гейне.
19.Критерий Коши для функций.
20.Доказательство непрерывности сложной функции.
21.Непрерывность тригонометрических, показательных и степенных функций.
22.Вывод 1-го замечательного предела.
23.Вывод 2-го замечательного предела. Запись в различных формах. 24.Односторонние пределы. Классификация точек разрыва функции.
Примеры.
В билете 4 вопроса: запись одностороннего предела на языке , ; графики элементарных функций; определения или формулы без доказательства; утверждение с доказательством.
Образец билета
1. Написать определение на языке , . Построить график и отрицание:
lim f x 4 0.
x 5 0
2.Построить эскизы графиков функций y shx , y thx .
3.Определение предела последовательности. Бесконечные пределы.
4.Доказательство критерия Коши для последовательностей.