Плотность распределения вероятностей и числовые характеристики непрерывных случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Пример. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
.
Требуется:
а)
найти функцию плотности распределения
;
б)
найти математическое ожидание
,
дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
;
в)
построить графики функций
и
;
г)
найти
.
Решение:
а)
по определению функции плотности
вероятности
.
б) Для непрерывной случайной величины
в)
г)
для вычисления вероятности попадания
непрерывной случайной величины в
интервал
можно применить одну из формул:
.
Применим первую формулу
.
Пример. Случайная величина задана плотностью распределения:
Требуется:
а) найти коэффициент C;
б)
функцию распределения
;
в)
построить графики функций
и
.
Решение:
а)
Плотность распределения
должна удовлетворять условиям:
;
,
тогда
Так
как
,
то
Таким образом,
б)
для нахождения функции распределения
воспользуемся формулой
.
При
.
При
,
При
,
Итак,
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
Пример. Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Составить f(x) и F(x) случайной величины X – времени ожидания очередного поезда и построить их графики. Найти M(X), D(X).
Решение. Случайная величина X – время ожидания очередного поезда. Величина X распределена равномерно на отрезке [0,5], поэтому воспользуемся формулами
Тогда
имеем
Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:
.
Тогда
Пример.
Непрерывная случайная величина
распределена по показательному закону
с параметром
Составить функцию распределения, функцию
плотности этой случайной величины.
Найти числовые характеристики и
вероятность того, что случайная величина
попадет в интервал (0,3;1).
Решение. Очевидно, искомая плотность распределения
Искомая функция распределения
По
условию
Следовательно,
Для
нахождения вероятности P(0,3<X<1)
воспользуемся формулой
Тогда,
Пример.
Детали, выпускаемые цехом, по размеру
диаметра распределены по нормальному
закону. Стандартная длина диаметра
детали равна а=35, среднее квадратическое
отклонение
Требуется:
а) составить функцию плотности вероятностей;
б)
найти вероятность того, что диаметр
наудачу взятой детали будет больше
в)
найти вероятность того, что диаметр
детали отклонится от стандартной длины
не больше чем на
Решение. 1. Так как непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, есть ее плотность распределения вероятностей выражается формулой
.
Следовательно,
.
2. Для нормально распределенной случайной величины
Тогда
3.
Последнее задание решаем по формуле
Таким образом,
где Ф(x) – интегральная функция Лапласа (табличная).
Закон больших чисел
Пример. Вероятность того, что у отдельного вкладчика некоторого сберегательного банка сумма вклада не больше 3 млн. руб., превышает 0,8. Банк обслуживает 1 000 вкладчиков. Какова общая сумма вкладов этого сберегательного банка?
Решение.
.
Тогда
.
Общая сумма 600 000 000 руб.
Пример. Вероятность того, что студент учебного заведения в период работы читального зала посетит его, равна 0,3. Оценить вероятность того, что среди 900 студентов читального зала посетят от 240 до 300 человек.
Решение. M(X) = np = 900 · 0,3 = 270; D(X) = npq = 189.
Величина
отклонения от M(X) равна
.
Тогда
.