Случайная величина. Закон распределения случайной величины. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пример. В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равны . Составить закон распределения случайной величины X – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

Решение. X – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения:

 все три прибора не выйдут из строя в течении гарантийного срока;

 один прибор выйдет из строя;

 два прибора выйдут из строя;

 три прибора выйдут из строя.

Найдем соответствующие этим значениям вероятности. По условию, вероятности выхода из строя приборов равны: тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:

Закон распределения имеет вид:

	0	1	2	3
	0,684	0,283	0,032	0,001

Проверка: 1.

Пример. Предприятие выпускает 90 % изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины X – числа изделий высшего сорта из трех, взятых наудачу изделий.

Решение. Случайная величина X – число изделий высшего сорта среди трех отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

,

Закон распределения случайной величины X:

	0	1	2	3
	0,001	0,027	0,243	0,729

Проверка: = 0,001 + 0,027 + 0,243 +

+ 0,729 = 1.

Пример. На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берет наудачу три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди трех взятых.

Решение. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных, подчиняется гипергеометрическому закону распределения . Воспользуемся формулой:

Закон распределения случайной величины X:

	0	1	2	3

Проверка:=

Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	2	4	5	7
	0,2	0,1	0,3	0,4

Составить функцию распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащие интервалу (3;6).

Решение. 1) По определению есть вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x.

Таким образом функция распределения примет вид:

Построим график F(x):

2) Найдем вероятность по формуле , тогда

Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	2	4	5	7
Р	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти: математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение .

Решение. По формуле находим математическое ожидание X:

По формулам и найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

X	1	3	4								Y	0	2	3
P	0,1	?	0,6								Р	0,2	0,4	?

Пример. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:

а) найти

б) составить закон распределения случайной величины Найти M(Z), D(Z) и проверить выполняемость свойств в) составить закон распределения . Найти M(V) и проверить выполняемость свойства

Решение: а) Так как

Запишем закон распределения случайных величин X и Y с учетом их вероятности:

X	1	3	4								Y	0	2	3
P	0,1	0,3	0,6								Р	0,2	0,4	0,4

б) Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения величины X с каждым возможным значением величины Y. Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:

	1+0=1	1+2=3	1+3=4	3+0=3

3+2=5	3+3=6	4+0=4	4+2=6	4+3=7

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

	1	3	4	5	6	7
	0,02	0,1	0,16	0,12	0,36	0,24

в) Составим закон распределения . Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y. Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений равны произведениям вероятностей сомножителей:

						1
		0,02		0,04		0,04		0,06
0,12	0,12		0,12		0,24		0,24

Одинаковые значения величины объединяем, складывая их вероятности.

Закон распределения записываем так:

	0	2	3	6	8	9	12
	0,2	0,04	0,04	0,12	0,24	0,12	0,24

Найдем

Таким образом,