2.3. Передаточные функции

Передаточной функцией элемента или системы называют отно­шение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины элемента или системы при нулевых началь­ных условиях.

Для определения аналитического выражения передаточной функ­ции в общем виде достаточно, таким образом, записать уравнение (2.6) в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях по всем переменным и записать отношение .

Если при : , , то на основании (2.6) можно записать

(2.19)

В соответствии с определением выражение для передаточной функ­ции САУ в общем виде можно записать из уравнения (2.19):

. (2.20)

Как видно из уравнения (2.20) передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Знаменатель передаточной функции

представляет собой характеристический многочлен системы, а чис­литель

является изображением правой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях.

В САУ степень знаменателя в выражении (2.20) всегда боль­ше или равна степени числителя, т.е. .

В ТАУ также используют передаточную функцию ошибки , которую определяют как отношение преобразования Лапласа сигнала ошибки к преобразованию Лапласа входной величины при нулевых начальных условиях, т.е.

. (2.21)

Используя передаточные функции (2.20) и (2.21), можно определить изображения регулируемой величины и ошибки САУ по формулам:

; . (2.22)

Лекция 4

План лекции:

1. Переходная характеристика и весовая функция системы.

2. Типовые звенья сау.

3. Неустойчивые и неминимально–фазовые звенья.

4. Рекомендуемая литература [1, 4, 7].

2.4. Переходная характеристика и весовая функция

Для исследования динамики САУ в переходном режиме используются переходные характеристики и весовые функции.

Переходной характеристикой системы называют её реакцию (изменение во времени выходной величины) на единичное скач­кообразное воздействие .

Весовой функцией (функцией веса) системы называют её реакцию на единичное импульсное воздействие .

В соответствии с этими определениями можно утверждать, что они связаны между собой так же, как единичное ступенчатое воздействие с дельта-функцией, т. е.

; (2.23)

. (2.24)

Зная переходную характеристику или весовую функцию, можно определить реакцию системы или звена на произвольное входное воз­действие при нулевых начальных условиях.

5. Типовые звенья систем автоматического

УПРАВЛЕНИЯ

Деление САУ на функциональные элементы не отражает динами­ческие свойства ни системы, ни элементов. Поэтому, САУ "разбива­ют" на отдельные устройства в зависимости от динамических свойств этих устройств, которые называют динамическими звеньями. Типовым динамическим звеном называет звено, для которого связь между входным и выходным сигналами описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типовые звенья.

1. Усилительное звено (безынерционное) характеризуется тем, что выходной сигнал пропорционален входному :

, или ,

где - коэффициент передачи усилительного звена (если размерности коэффициентов и совпадают, то на­зывают коэффициентом усиления).

На основании (2.25) при нулевых начальных условиях имеем

, (2.26)

или

, (2.27)

где ; .

Для определения переходной характеристики необходимо определить реакцию звена на единичное скачкообразное воз­действие т.е, , если . В соответствии с этим

, (2.28)

где - передаточная функция звена.

; .

Для определения весовой функции необходимо опреде­лить реакцию звена на единичное импульсное воздействие, т.е. , если .

В соответствии с этим

, (2.29)

где ; .

Выражения (2.28) и (2.29) позволяют определить изображе­ния переходной характеристики и весовой функции по передаточной функции звена. Так для усилительного звена на основании (2.28) и (2.29) с учётом (2.27) можно записать

; ,

т. е. .

Изложенная методика может быть применена для определения переходных характеристик и весовых функций всех типовых звеньев.

2. Интегрирующее звено характеризуется уравнением

или , (2.31)

где - постоянная времени интегрирующего звена.

Соответствующая (2.31) передаточная функция интегрирующего звена имеет вид

.

В соответствии с (2.28) и (2.29)

; ,

т. е.

. (2.33)

3. Дифференцирующее звено описывается уравнением

или , (2.34)

где .

На основании (2.34) имеем

;; ; (2.35)

т. е. . (2.36)

4. Апериодическое (инерционное) звено. Уравнение этого звена имеет вид

, или ,

где ; .

Соответственно передаточная функция определяется выражением

; (2.37)

На основании (2.37) имеем:

; (2.38)

; (2.39)

Применяя формулу обратного преобразования Лапласа, будем иметь

, (2.40)

где ; ; ; ; ; .

Тогда (2.40) примет вид

. (2.41)

Выражение для весовой функции на основании (2.39) имеет вид

. (2.42)

5. Колебательное звено. Уравнение для этого звена имеет вид

, или , (2.43)

где ; ; - коэффициент относительного демпфирования, причём для колебательного звена . Передаточная функция колебательного звена, соответствующая урав­нению (2.43), имеет вид

. (2.44)

Если окажется больше единицы, то это звено называется апе­риодическим звеном второго порядка, а его передаточная функция за­писывается в виде

, (2.45)

где ; .

На основании (2.44) имеем:

; (2.46)

. (2.47)

Применяя формулы обратного преобразования Лапласа, можно пока­зать, что выражения для переходной характеристики и весовой функ­ции, соответствующие (2.46) и (2.47), имеют вид:

(2.48)

. (2.49)

Графики переходных характеристик и весовых функций типовых звень­ев сведены в табл. 2.1.

6. Форсирующее звено 1-го порядка. Уравнение этого звена

, или , (2.50)

где ; .

Передаточная функция, соответствующая уравнению (2.50), имеет вид

. (2.51)

На основании (2.51)

,

Таблица 2.1

п/п	Передаточная Функция типового звена	Переходная характеристика	Весовая функция
1
2
3
4
5

т.е.

; (2.52)

. (2.53)

7. Форсирующее звено 2-го порядка. Уравнение этого эвена

, или , (2.54)

где ; ; .

Соответствующая (2.54) передаточная функция имеет вид

. (2.55)

На основании (2.55) запишем:

; ;

; (2.56)

. (2.57)

В соответствии с определением типовых звеньев их классифи­кация производится именно по виду дифференциального уравнения или передаточной функции. Одним и тем же уравнением могут описы­ваться весьма разнообразные устройства (механические, электромеханические, электронные, гидравлические и др.). Один и тот же реальный элемент САУ может считаться усилительным, дифференциру­ющим, апериодическим, колебательным звеном в зависимости от до­пущений, принятых при его математическом описании, а также в за­висимости от того, какие переменные принимаются за входные и вы­ходные (перемещения, скорости, ускорения, моменты и т.д.). В об­щем случае передаточную функцию любого реального элемента можно представить в виде произведения передаточных функций типовых звеньев. Тем не менее, в качестве примеров типовых звеньев при определённых допущениях можно привести реальные элементы САУ.

Примерами усилительного звена могут служить электронные усилители, делители напряжения (потенциометры), безынерционные датчики углов и др.