5.2.1 . Частотный метод анализа качества сау,

основанный на преобразовании Фурье

Выделяя действительные и мнимые части функций

X_С (iω) = U_С (ω)+ i V_С (ω),

выражение (5.5) перепишем в виде

Учитывая четность функций U_С (ω) и cos ωt и нечетность функций V_С (ω) и sin ωt, получим

Тогда

(5.6)

Полагая, что при t < 0 x_c (t) = 0, можно записать

(5.7)

В результате сложения (5.6) и (5.7) получим

(5.8)

Учитывая четность подынтегральной функции, выражение (5. 8) принимает вид

(5.9)

В результате вычитания (5.6) из (5.7) получим

или (5.10)

Найдем зависимость функций Uc(ω) и Vc(ω) от действительной U(ω) и мнимой V(ω) частей АФЧХ Ф(iω) замкнутой системы.

На основании теоремы операционного исчисления о предельном значении функции можно записать

Если f (t) = l (t), т.е. F(p) = и то

(5.11)

Тогда

или

т.е.

; (5.12)

. (5.13)

На основании (5.9) с учетом (5.12) будем имееть

(5.14)

На основании (5.10) с учетом (5.13):

(5.15)

Полное движение системы x(t)= x_С (t) + x_B (t) .

Учитывая (5.1 1) и (5.15), получим

где (Табличный интеграл).

С учетом этого

(5.16)

Формула (5.16) связывает функцию x(t) с U(ω). Она позволяет вычислить координаты графика переходного процесса по известным значениям вещественной частотной характеристики. Иногда пользуются приближенным методом построения переходного процесса с помощью трапеции­дальных частотных характеристик..

2. Приближенный метод построения кривой переходного процесса с помощью трапециидальных частотных

характеристик

В выражении (5.16) производят следующую замену:

, (5.17)

где U_k(ω) - трапеции, две стороны которых совпадают с осями координат;

r - количество трапеций, на которые разбивается вещественная характеристика U(ω).

Замена (5.17) соответствует аппроксимации вещественной частотной харак­теристики U(ω) суммой трапеций (рис. 5.2 а). При этом суммарная площадь трапеций (с учетом их знаков) должна быть приблизительно равна площади под кривой вещественной характеристики.

Кривая переходного процесса системы строится в результате сложения переходных процессов x_к (t), соответствующих k-м трапециям.

Каждая из трапеций характеризуется следующими координатами τ_ok, ω_dk, ω_ok

(рис. 5.2 б) и относительной величиной

Существуют таблицы h-функций для единичных трапеций с различными коэффициентами наклона χ.

а б

Рис. 5.2

Кривая переходного процесса получается суммированием построенных h-функций с учетом правил масштабов, которые заключаются в следующем.

1. Перед сложением ординату каждой h-функции необходимо умножить на высоту соответствующей трапеции (с учетом знака).

2. Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой h -функции в соответствии с теоремой подобия.

Действительное время равно времени t, приведенному в таблице h(τ) функций, деленному на частоту среза соответствующей трапециидальной характеристики: