- •Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 5.
- •Работа и энергия. Мощность.
- •Работа и энергия.
- •Кинетическая энергия тела.
- •Энергия не исчезает в никуда и не возникает из ничего. Она лишь переходит из одного вида энергии в другой.
- •Кинетическая энергия:
- •Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия.
- •Потенциальная энергия – это механическая энергия
- •Как силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое.
- •Как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна 0.
- •Потенциальная энергия.
- •Говорят, что тело, находящееся в потенциальном
- •Работа силы тяжести у поверхности Земли.
- •Работа силы упругости (потенциальная энергия упруго деформированной пружины).
- •Полная энергия системы. Закон сохранение энергии.
- •Удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Работа силы тяжести у поверхности Земли.
С этим случаем мы уже встречались, когда рассматривали однородное стационарное поле ( см. рис. 5.3 ). Тогда мы получим соотношение ( 5.20 ) в виде:, которое можно переписать в виде:
( 5.22 )
Поскольку работа по перемещению материальной точки из точки 1 в точку 2 совершается за счет потенциальной энергии Ep (x, y, z) ( точнее за счет убыли потенциальной энергии ), то выражение:
Ep = mgh ( 5.23 )
определяет потенциальную энергию тела в поле силы тяжести на высоте h от произвольно выбранного уровня относительно уровня Земли.
Поле сил тяготения (работа сил тяготения на расстояниях, удаленных от Земли).
Пусть тело массой m перемещается из точки 1 в точку 2 под действием сил тяготения Земли, причем точки находятся на расстояние R1 и R2, сравнимых с радиусом земли ( см. рис. 5.4 ).
Работа по перемещению тела массой m на бесконечно малом отрезке dR, совершается силой тяготения, определенного в соответствии с законом всемирного тяготения:
Рис. 5.4. Потенциал гравитационного поля.
, ( 5. 24 )
( 5.25 )
Из выражения ( 5.25 ) следует, что выражение
( 5.26 )
определяет потенциальную энергию тела массой m в поле тяготения Земли на расстояние r от ее центра.
Работа силы упругости (потенциальная энергия упруго деформированной пружины).
Пусть под действием внешней силы пружина растягивается от начальной длины х0 до конечной длины х1 ( см. рис. 5.5 )..
Тогда работа dA по растяжению пружины на малом интервале dx будет определяться выражением:
dA = Fупр. dx = kx*dx , ( 5.27 )
где k – коэффициент упругости пружины, Fупр. - = kx – следствие из закона Гука ( упругая деформация ), x – начальная длина пружины, dx - удлинение пружины после деформации ( элементарное удлиннение пружины ).
Рис. 5.5. К определению потенциальной энергии упруго деформированной пружины.
Полную потенциальную энергию по деформации пружины от точки х0 до точки х1 найдем интегрированием:
. ( 5.28 )
т.к. при х0 деформация пружины равна 0. Принимая точку х=х0 за точку отсчета потенциальной энергии упруго деформированной пружины, получим, что
. ( 5.29 )
Необходимо отметить два важных свойства функций Ep (x, y, z,) задающих потенциальную энергию ( потенциальное поле консервативных сил ) :
1) В отличие от кинетической энергии , которая для материального тела всегда положительна, потенциальная энергия Ep ( x, y, z ) материального тела может быть и отрицательной.
Например, если для однородного поля тяготения Земли вблизи ее поверхности уровень отсчета потенциальной энергии Ep выбрать по поверхности Земли ( уровень 0-0, см. рис. 5.6 ), то для материального тела массой m2, находящеюся на S метров ниже уровня 0 – 0 ( уровень 0 – 0 ), потенциальная энергия будет отрицательной (тело находится в "яме" ):
уровень ОО
( 5.30 )
уровень ÓÓ
Если же уровень отсчета потенциальной энергии взять по дну ямы (уровень 0* – 0* ), то:
( 5.30а )
уровень ÓÓ
Рис. 5.6. Зависимость знака Ep от выбора отсчета потенциальной энергии.
Если рассматривается работа внешних сил против консервативных сил, то величина работы будет с обратным знаком:
. ( 5.31 )
2) Для потенциальных полей консервативных сил имеет место простая связь между консервативной силой и потенциальной энергией. Поскольку потенциальная энергия Ep( x, y, z ) является функцией состояния системы и если известно выражение для Ep( x, y, z ), то можно найти выражение для консервативной силы F( x, y, z ) в каждой точке потенциального поля.
Рассмотрим одномерный случай, когда частица перемещается вдоль оси х под действием консервативной силы (x) ( рис.5.7 ):
Рис 5.7. К выводу зависимости ( x, y, z ) от Ep ( x, y, z ).
По определению элементарной работы запишем:
dA = F dx*cos = Fx dx . ( 5.32 )
Т.к. работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, то:
dA = - dEp = Fx dx . ( 5.33 )
Из выражения ( 5.33 ) следует, что
, ( 5.34 )
- в этом случае производная Ep ( x, y, z ) по х будет частной производной, поскольку при выводе соотношений предполагалось, что координаты по y и z остаются постоянными.
В общем случае можно получить соотношения для компонент силы ( x, y, z ):
( 5.35 )
С учетом соотношений ( 5.35 ) вектор силы можно записать через проекции на оси координат:
( 5.36 )
Если использовать математический формализм, то для скалярной функции координат ( x, y, z ) имеет место соотношение:
grad = ( 5.37 )
- полученное выражение можно рассматривать как результат действия на скалярную функцию оператора ( набла ):
( 5.38 )
Оператор набла еще называется оператором Гамильтона.
Т.к. используемая нами функция Ep( x, y, z ), задающая потенциальную энергию частицу в любой точке пространства, является скалярной (ее размерность- [Дж]!), то:
( 5.39 )
Консервативная сила ( x, y, z ) потенциального поля E( x, y, z )
равна градиенту функции Ep( x, y, z ), взятому с обратным знаком.
Иногда функцию Ep( x, y, z ) называют потенциалом поля. Такая терминология особенно наглядна при описании электростатического поля.