Работа силы тяжести у поверхности Земли.

С этим случаем мы уже встречались, когда рассматривали однородное стационарное поле ( см. рис. 5.3 ). Тогда мы получим соотношение ( 5.20 ) в виде:, которое можно переписать в виде:

( 5.22 )

Поскольку работа по перемещению материальной точки из точки 1 в точку 2 совершается за счет потенциальной энергии Ep (x, y, z) ( точнее за счет убыли потенциальной энергии ), то выражение:

E_p = mgh ( 5.23 )

определяет потенциальную энергию тела в поле силы тяжести на высоте h от произвольно выбранного уровня относительно уровня Земли.

Поле сил тяготения (работа сил тяготения на расстояниях, удаленных от Земли).

Пусть тело массой m перемещается из точки 1 в точку 2 под действием сил тяготения Земли, причем точки находятся на расстояние R₁ и R₂, сравнимых с радиусом земли ( см. рис. 5.4 ).

Работа по перемещению тела массой m на бесконечно малом отрезке dR, совершается силой тяготения, определенного в соответствии с законом всемирного тяготения:

Рис. 5.4. Потенциал гравитационного поля.

, ( 5. 24 )

( 5.25 )

Из выражения ( 5.25 ) следует, что выражение

( 5.26 )

определяет потенциальную энергию тела массой m в поле тяготения Земли на расстояние r от ее центра.

Работа силы упругости (потенциальная энергия упруго деформированной пружины).

Пусть под действием внешней силы пружина растягивается от начальной длины х₀ до конечной длины х₁ ( см. рис. 5.5 )..

Тогда работа dA по растяжению пружины на малом интервале dx будет определяться выражением:

dA = F_упр. dx = kx*dx , ( 5.27 )

где k – коэффициент упругости пружины, F_упр. - = kx – следствие из закона Гука ( упругая деформация ), x – начальная длина пружины, dx - удлинение пружины после деформации ( элементарное удлиннение пружины ).

Рис. 5.5. К определению потенциальной энергии упруго деформированной пружины.

Полную потенциальную энергию по деформации пружины от точки х₀ до точки х₁ найдем интегрированием:

. ( 5.28 )

т.к. при х₀ деформация пружины равна 0. Принимая точку х=х₀ за точку отсчета потенциальной энергии упруго деформированной пружины, получим, что

. ( 5.29 )

Необходимо отметить два важных свойства функций Ep (x, y, z,) задающих потенциальную энергию ( потенциальное поле консервативных сил ) :

1) В отличие от кинетической энергии , которая для материального тела всегда положительна, потенциальная энергия Ep ( x, y, z ) материального тела может быть и отрицательной.

Например, если для однородного поля тяготения Земли вблизи ее поверхности уровень отсчета потенциальной энергии Ep выбрать по поверхности Земли ( уровень 0-0, см. рис. 5.6 ), то для материального тела массой m₂, находящеюся на S метров ниже уровня 0 – 0 ( уровень 0 – 0 ), потенциальная энергия будет отрицательной (тело находится в "яме" ):

уровень ОО

( 5.30 )

уровень ÓÓ

Если же уровень отсчета потенциальной энергии взять по дну ямы (уровень 0^* – 0^* ), то:

( 5.30а )

уровень ÓÓ

Рис. 5.6. Зависимость знака Ep от выбора отсчета потенциальной энергии.

Если рассматривается работа внешних сил против консервативных сил, то величина работы будет с обратным знаком:

. ( 5.31 )

2) Для потенциальных полей консервативных сил имеет место простая связь между консервативной силой и потенциальной энергией. Поскольку потенциальная энергия Ep( x, y, z ) является функцией состояния системы и если известно выражение для Ep( x, y, z ), то можно найти выражение для консервативной силы F( x, y, z ) в каждой точке потенциального поля.

Рассмотрим одномерный случай, когда частица перемещается вдоль оси х под действием консервативной силы (x) ( рис.5.7 ):

Рис 5.7. К выводу зависимости ( x, y, z ) от Ep ( x, y, z ).

По определению элементарной работы запишем:

dA = F dx*cos  = F_x dx . ( 5.32 )

Т.к. работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, то:

dA = - dE_p = F_x dx . ( 5.33 )

Из выражения ( 5.33 ) следует, что

, ( 5.34 )

- в этом случае производная Ep ( x, y, z ) по х будет частной производной, поскольку при выводе соотношений предполагалось, что координаты по y и z остаются постоянными.

В общем случае можно получить соотношения для компонент силы ( x, y, z ):

( 5.35 )

С учетом соотношений ( 5.35 ) вектор силы можно записать через проекции на оси координат:

( 5.36 )

Если использовать математический формализм, то для скалярной функции координат  ( x, y, z ) имеет место соотношение:

grad  = ( 5.37 )

- полученное выражение можно рассматривать как результат действия на скалярную функцию  оператора  ( набла ):

( 5.38 )

Оператор набла еще называется оператором Гамильтона.

Т.к. используемая нами функция Ep( x, y, z ), задающая потенциальную энергию частицу в любой точке пространства, является скалярной (ее размерность- [Дж]!), то:

( 5.39 )

Консервативная сила ( x, y, z ) потенциального поля E( x, y, z )

равна градиенту функции Ep( x, y, z ), взятому с обратным знаком.

Иногда функцию Ep( x, y, z ) называют потенциалом поля. Такая терминология особенно наглядна при описании электростатического поля.