1. Как силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое.

2. Как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна 0.

Покажем, что силы, действующие на частицу в однородном, стационарном поле являются консервативными. Пример такого поля сила тяжести у поверхности Земли при небольших перепадах высот. Эта сила в любой точке имеет одинаковую величину и одинаковое направление - вниз по вертикали ( см. рис. 5.3 ): F = const = mg.

Рис. 5.3. Доказательство консервативности силы тяжести (см. рис. 21.3 Савельев: стр. 83; т.1)

Вычислим работу силы тяжести по перемещению частицы под действием силы F=const=mg между точками 1 и 2 по произвольной траектории, например, по траектории I. В соответствии с математическим формализмом можем записать:

. ( 5.20 )

Аналогичное выражение может быть получено, если мы будим двигаться из точки 1 в точку 2 по траектории II. Следовательно, работа по перемещению материальной точки из точки 1 в точку 2 будет, определятся только вектором перемещения и не зависит от формы траектории, следовательно, сила =const однородного стационарного поля является консервативной.

Потенциальная энергия.

Уточним теперь понятие потенциальной энергии и ее связь с работой над телом ( или системой материальных точек ). Из самого название энергии следует, что речь идет о работе консервативных сил в потенциальных полях.

Говорят, что тело, находящееся в потенциальном

поле сил, обладает потенциальной энергией.

Пусть в некоторой точке поле консервативных сил соответствует некоторым функциям координат, которые будем обозначать Ep ( x, y, z ).

Возьмем точку 0, в которой функция будет иметь вид Epo ( x,y,z ). Значение функции в любой другой точке С положим равным сумме функции в точке 0 и работы консервативных сил по перемещению частицы из точки 0 в точку С.

. ( 5.21 )

Поскольку работа консервативных сил не зависит от формы траектории, а определяется только положением точек 0 и С, эта функция в точке С и в любой другой точке будет, определятся однозначно.

Эта функция Ep (x, y, z) имеет размерность работы А [Дж] и называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле.

Поскольку работа консервативных сил в потенциальном поле равна разнице потенциальных энергий в начале и конце пути ( мы так определили функцию Ep (x, y, z) ! ), то работа по перемещению материальной точки из точки 1 в точку 2 в потенциальном поле совершается за счет убыли потенциальной энергии в соответствии с уравнением ( 5.21 ):

A_oc = E_pc - E_po ( 5.21 а )

Строго говоря, функция, задающая потенциальную энергию материальной точки в пространстве, определяется с точностью до некоторой постоянной, но поскольку вовсе физические соотношения входит разность Ep, знание этой постоянной не имеет принципиального значения.

Еще раз отметим, что в общем случае потенциальная энергия Ep ( x, y, z ) является только частью энергии материальной точки или системы материальных точек и определяется взаимным расположением тел системы и характером сил их взаимодействия.

Рассмотрим, как вычисляется потенциальная энергия системы материальных тел для различных случаев.