8.3. Система канонических уравнений метода перемещений

 

Плоская стержневая система с известной топологией и геометрическими размерами испытывает произвольное силовое воздействие (рис. 8.11,а). Изгибную жесткость поперечного сечения стержней, расположенных между узлами сооружения, будем считать постоянной (EJ_k = const).

Поскольку в задан­ной системе имеют мес­то и повороты, и линей­ные смещения узлов, то основной системе надо придать такие же повороты и смещения, при этом добиваясь ра­венства нулю реакций во всех введенных связях, сопротивляющих­ся этим поворотам и смещениям. Тогда можно утверждать, что заданная и основная система в нагруженном состоянии являются эквивалентными.

 

Рис. 8.11

 

Степень кинематической неопределимости сооружения равна n. Накладывая на его узлы n угловых и линейных связей, образуем основную систему метода перемещений (рис. 8.11,б). Неизвестные угловые и линейные перемещения узлов Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n определим из условия эквивалентности напряженно-деформированных состояний заданного сооружения (рис. 8.11,а) и его основной системы метода перемещений (рис. 8.11,б), т.е. из условий равенства нулю реакций в наложенных связях от их смещения на величины  Z₁, Z₂,…, Z_i,…, Z_j,…, Z_n и от действующей нагрузки. Другими словами, подбор перемещений угловых и линейных связей в основной системе метода перемещений мы осуществляем, отрицая реакции в наложенных связях, ибо в заданном сооружении этих связей нет.

R₁ = 0, R₂ = 0,…, R_i = 0,…, R_j = 0,…, R_n = 0.                                                          (8.3)

Используя принцип независимости действия сил, реакции соотношения (8.3) представим в виде суммы реакций от смещений каждой из наложенных связей на величину, совпадающую с величиной соответствующего перемещения узла в заданном сооружении, и от приложенной нагрузки:

 

………………………………………………………………...                                    (8.4)

………………………………………………………………...

 

В соотношениях (8.4):  и  соответственно реакции в i-й наложенной связи в основной системе метода перемещений от заданной нагрузки и смещения j-й связи на величину, равную Z_j. В соответствии с принципом пропорциональности реакции в наложенных связях запишем так:

 

……………..                                 

                                                                                                            (8.5)

……………..                                                         

……………..

 

Из формул (8.5) следует смысл коэффициентов r_ii и r_ij. Это реакции в i-й наложенной связи, соответственно от смещения i-й и j-й наложенных связей на величину, равную единице, в основной системе метода перемещений.

Подставляя выражения (8.5) в соотношения (8.4), в общем виде получим систему канонических уравнений метода перемещений:

       (8.6)

В системе уравнений (8.6) коэффициенты при неизвестных r_ii, расположенные на главной диагонали, называются главными, коэффициенты r_ij – побочными, свободные члены R_iF – грузовыми коэффициентами. При этом побочные коэффициенты r_ij и r_ji подчиняются теореме о взаимности реакций, т.е. r_ij = r_ji.

Решению системы уравнений (8.6) предшествует определение коэффициентов при неизвестных r_ii, r_ij и свободных членов R_iF.

Для определения этих коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений (8.6) необ­ходимо предварительно построить эпюры моментов в основной системе от заданной системы внешних сил и от единичных переме­щений Z_i = 1. Все коэффициенты, а также свободные члены урав­нений разделяются на две группы: коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных допол­нительных элементах; коэффициенты и свободные члены, пред­ставляющие реактивные усилия во введенных дополнительных эле­ментах основной системы.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактив­ные моменты во введенных элементах, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия моментов М = 0, со­гласно методу сечений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактив­ные усилия во введенных связях основной системы определяются разрезанием элементов рамы и составлением уравнения равновесия сил на отсеченной части y = 0. При этом направление оси y вы­бирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым по форме.

Следовательно, для того, чтобы построить эпюру моментов в основной системе от действия системы внешних сил и от Z_i = 1 (i = 1, 2,..., n), необходимо предварительно определить эпюру мо­ментов в однопролетных статически неопределенных стержнях (входящих в состав основной системы, за исключением дополни­тельных элементов). Откуда следует, что в общем случае для реали­зации метода перемещений необходимо предварительно рассмот­реть решение задачи об определении эпюр внутренних усилий в однопролетных статически неопределимых стержнях при кинема­тическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом и температурном нагружении.

Проверкой правильности расчета рамы методом перемещений служат равенство нулю суммы моментов, передающихся на каждый узел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия равновесия рамы.

Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждой единичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решения канонических уравнений.