Часть 8. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие

 

8.1. Степень кинематической неопределимости сооружения

 

Расчет статически неопределимых систем методом сил на различные воздействия сводится к определению усилий в лишних связях из системы канонических уравнений этого метода. Вычисление внутренних усилий в различных элементах сооружения и построение их эпюр в методе сил производится в основной системе, как правило, статически определимой, испытывающей заданные воздействия и воздействия усилий в лишних связях. Таким образом, выявление напряженно-деформированного состояния сооружений в расчетах методом сил начинается с получения картины распределения внутренних усилий и завершается вычислением перемещений отдельных узлов и сечений сооружения.

Возможен принципиально иной подход к расчету сооружений, когда выявление их напряженно-деформированных состояний начинается с определения перемещений от заданных воздействий и завершается построением эпюр внутренних усилий. Такой подход в расчетах сооружений реализуется в методе перемещений.

В методе перемещений сохраняются допущения, ранее принятые при расчете сооружений методом сил, а именно: материал, из которого изготовлены элементы сооружений, подчиняется закону Гука; перемещения отдельных сечений и узлов сооружений малы по сравнению с их геометрическими размерами. C учетом сформулированных допущений сооружения можно рассматривать как линейно-деформируемые системы, для которых справедлив принцип независимости действия сил и вытекающий из него принцип пропорциональности.

Известно, что для определения изгибающего момента в произ­вольном сечении заданного стержня необходимо знать величины поворотов в концевых сечениях и относительные линейные смеще­ния концов стержня друг относительно друга.

При расчете статически неопределимой системы методом пере­мещений первоначально необходимо установить общее число неиз­вестных перемещений, подлежащих определению для адекватного вычисления величин внутренних усилий.

За неизвестные в методе перемещений принимаются перемещения узлов от заданных воздействий: линейные перемещения шарнирных и жестких узлов Z₁ и Z₂ и повороты жестких узлов Z₃ (рис. 8.1,а,б). Суммарное количество неизвестных угловых (n_θ) и линейных (n_Δ) перемещений узлов называется степенью кинематической неопределимости сооружения.

n_kin = n_θ + n_Δ.                                  (8.1)

Число неизвестных угловых перемещений n_θ равно количеству жестких узлов сооружения. Жестким считается узел, в котором кон­цы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы 1, 2, 3, на рис.8.2, а).

Рис.8.2

 

Для сооружений, в которых перемещения от внешних воздействий обусловлены преимущественно изгибными деформациями, при определении числа независимых линейных перемещений узлов вводятся дополнительные допущения:

1. Элементы сооружений считаются нерастяжимыми и несжимаемыми, т.е. пренебрегают изменением их длин под действием продольных сил.

2. Предполагается, что длины хорд искривленных стержней равны их первоначальным длинам, т.е. А′В′ = АВ (рис. 8.3).

Считая сформулированные допущения справедливыми, число независимых линейных перемещений узлов сооружения n_Δ можно определить по его шарнирной схеме, полученной из заданного сооружения введением во все жесткие узлы, включая и опорные, врезанных цилиндрических шарниров (рис.8.2, б и рис.8.4, б). Число неизвестных линейных сме­щений узлов системы равно числу стержней, которые необходимо ввести в шарнирную схему, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую систему. Следовательно, число независимых линей­ных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости шарнирной системы, полученной из заданной, путем введения во все жесткие узлы, включая и опорные, полных шарниров.

На основании о пренебрежении продольными деформациями элементов, для плоской рамы (рис.8.1, а), линейные смещения узлов отсутствуют. При этом, шарнирная схема (рис.8.2, б) является геометрически неизменяемой.

Рис.8.4

 

Рамы, шарнир­ные схемы которых являются геометри­чески неизменяемы­ми, относятся к ка­тегории, так называ­емых, закрепленных или несвободных. Для таких рам число неизвестных перемещений легко определяется и оно всегда равно числу жестких узлов: n = n_θ . В нашем примере n_kin = 3.

В качестве другого примера, рассмотрим раму, изображенную на рис.8.4, a, число жестких узлов которого равно 2. Следова­тельно, n_θ  = 2.

Шарнирная схема рамы один раз геометрически изменяемая, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую необ­ходимо ввести 1 стержень, например, так, как это показано на рис.8.4, б. Итак, число линейных неизвестных перемещений n_Δ= 1. Общее число неизвестных перемещений в рассматриваемой системе, изображенной на рис.8.4, a, равно n_kin  = 2 + 1 = 3.

Степень свободы полученной таким образом шарнирной схемы будет равна числу независимых линейных перемещений узлов заданной системы. Для подсчета количества степеней свободы плоской шарнирной схемы Wиспользуют формулу:

 

W = 2Y − C − C_o,                                                                                              (8.2)

где    Y – число узлов;   C – число стержней,  соединяющих узлы;

C_o – число опорных связей.

Пример 8.1.

Определить степень кинематической неопределимости рам, показанных на рисунке 8.5.

Рис. 8.5,а: n_θ = 5, так как рама имеет пять жестких узлов (А, B, C, D, E); n_Δ = W = 2Y − C − C_o = 2 · 6 − 7 − 2 = 3 (узлы шарнирной схемы 1 – 6; стержни, соединяющие эти узлы: 12, 23, 45, 56, 14, 25, 36; опорные связи 44′, 66′);  n_kin = n_θ +n_Δ = 5 + 3 = 8.

Рис. 8.5,б: n_θ = 2 (узлы А и В); n_Δ = W = 2 · 2 − 1 − 3 = 0 (узлы шарнирной схемы 1 и 2; стержень, соединяющий эти узлы 12, опорные связи 11′, 22′, 22′′); n_kin = 2 + 0 = 2.

Рис. 8.5,в: n_θ = 3 (узлы А, В, С); n_Δ = W = 2 · 7 − 6 − 6 = 2 (узлы шарнирной схемы 1 – 7; стержни, соединяющие эти узлы 12, 23, 34, 45, 56, 67; опорные связи 11′, 22′, 33′, 55′, 66′, 77′); n_kin = = 3 + 2 = 5.

 

Рис. 8.5