Задание 4

Доказать, что для любых a, b, c, d : {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ↔ a=c и b=d.

Док-во:

М = {{a}, {a, b}}

N = {{c}, {c, d}}

все элементы M и N тоже равны т.к порядок перечисления элементов множества значения не имеет, а длина подмножества x={a, b} M и длина подмножества y={c, d} N равны x=y {a} M = {c} N

a=c и b=d ч.т.д

Задание 5

Построить отношение:

1)Не рефлексивное, несимметричное, транзитивное:

2)Антирефлексивное, симметричное, нетранзитивное.

Отношением называется кортеж φ=(Х,F), где Х={x_i}, i{1,2,…,n} – область задания отношения, F={(x_i, x_j)}, где x_i, x_jХ, – график отношения.

Отношение φ=(Х,F) называется нерефлексивным, если (хХ)(хφх).

Отношение φ=(Х,F) называется антирефлексивным, если (хХ)(хφх).

Отношение φ=(Х,F) называется симметричным, если (х,уХ)(хφу уφх).

Отношение φ=(Х,F) называется несимметричным, если (х,уХ)(хφу уφх).

Отношение φ=(Х,F) называется транзитивным, если (x,y,zХ)(хφу&yφz xφz).

Отношение φ=(Х,F) называется нетранзитивным, если (x,y,zХ)(хφу&yφz xφz).

1)Не рефлексивное, несимметричное, транзитивное:

	X1	X2	X3	X4	X5
X1	1	0	1	0	0
X2	1	1	1	1	1
X3	1	0	1	0	0
X4	0	0	0	0	0
X5	1	1	1	1	1

2)Антирефлексивное, симметричное, нетранзитивное:

	X1	X2	X3	X4
X1	0	1	1	0
X2	1	0	1	0
X3	1	1	0	1
X4	0	0	1	0

Задание 6

Доказать, что если отношение R₁ антисимметрично, то антисимметрично отношение R₁^-1

Отношение , тогда - по определению.

Следовательно, для мы можем записать:

; (1)

Т. к. - антисимметрично, то:

;

В силу (1), можно записать:

;

Окончательно:

;

Следовательно, - антисимметрично – ч.т.д.

Задание 7

Задайте морфизмы между отношениями, являющиеся:

1) Мономорфизмом, но не эпиморфизм;

2) Эпиморфизмом, но не мономорфизм;

Теоретическое введение:

Морфизм – перенесение свойств одного объекта на другой.

В дискретной математике под функцией подразумевается отображение некоторого множества на .

Функцией называется функциональное соответствие:

Область определения:

Область значений:

- тотальная, если:

- инъективная, если:

- всюду определенная, если:

- сюръективная, если:

- биективная, если она тотальная, инъективная, всюду определенная и сюръективная.

и - некоторые отношения, тогда:

;

;

Если , то данный морфизм – гомоморфизм между отношениями.

Если гомоморфизм – инъективен, то он – мономорфизм.

Если гомоморфизм – сюръективен, то он – эпиморфизм.

Если гомоморфизм – биективен, то он – изоморфизм.

1) Мономорфизмом, но не эпиморфизм;

2) Эпиморфизмом, но не мономорфизм;