- •1. Понятие экстремума функции.
- •2. Формула Тейлора.
- •4. Теорема Коши.
- •5. Правило Лопиталя ( раскрытие неопределенностей).
- •10.Замена переменных в определенном интеграле
- •11. Свойства непрерывных функций, заданных на сегменте.
- •12. Определенный интеграл.
- •13. Понятие дифференцируемости.
- •14. Дифференциал.
- •15. Точки перегиба графика функции.
- •16.Вогнутость и выпуклость графика функции
- •17.Вычисление площади криволинейного сектора
- •18.Длина дуги
- •19. Теорема Ролля.
- •20. Теорема Лагранжа.
- •22. Точки разрыва функции одной переменной.
- •Классификация точек разрыва функции.
- •23. Neopredelennyi integral I pervoobraznaya
- •24. Cвойства непрерывных функций, заданных на сегменте
- •25. Интеграл Римана.
- •26. Существование первообразной непрерывной функции.
- •1) Докажем, что
- •27. Вычисление площади криволинейной трапеции.
- •28. Свойства непрерывных на отрезке функций.
- •29. Вычисление объема тела.
- •30. Вычисление площади поверхности тел вращения.
22. Точки разрыва функции одной переменной.
См. вопросы 7,8 блок 2
Классификация точек разрыва функции.
Определение. Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.
1). Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если f(x), но f(x) f(a) , либо в точке а функция f(x) вообще не определена.
2). Разрыв 1-го рода. Точка a называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения:
или
3). Разрыв 2-го рода. Точка a называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из них бесконечно.
23. Neopredelennyi integral I pervoobraznaya
Pervoobraznaya .Funkciya F(x) nazyvaetsya pervoobraznoi funkciei dlya funkcii f(x) na intervale (a,b), esli v lyuboi tochke x intervala (a,b) funkciya F(x) differenciruema i imeet proizvodnuyu F’(x), ravnuyu f(x).
Esli F1(x) i F2(x) –lyubye pervoobraznye dlya funkcii f(x) na intervale (a,b),to vsyudu na etom intervale F1(x)-F2(x)=C,gde C-nekotoraya postoyannaya.
Dok-vo: F(x)=F1(x)-F2(x). tak kak kajdaya iz funkcii differenciruema na intervale (a,b)=> F’(x)=F’1(x)-F’2(x)=f(x)-f(x)=0..tak kak F’(x)=0,funkciya F(x) yavlyaetsya postoyannoi na intervale (a,b).
Neopredelennyi integral. sovokupnost’ vseh pervoobraznyh funkcii dlya dannoi funkcii f(x) na intervale(a,b) nazyvaetsya neopredelennym integralom ot funkcii f(x) na etom intervale i oboznachaetsya ∫f(x)dx.
∫-znak integrala
f(x)dx-podintegralnoe vyrajenie
f(x)-podintegralnaya funkciya
Esli neopredelennyi integral dlya funkcii f(x) na intervale (a,b)
sushestvuet ,to podintegralnoe vyrajenie predstavlyaet soboy differencial lyuboi iz etih pervoobraznyh
24. Cвойства непрерывных функций, заданных на сегменте
См. вопрос 11 блок 2
25. Интеграл Римана.
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.
Рассмотрим разбиение отрезка - kонечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков Длина наибольшего из отрезков δR =max(Δxi), называется шагом разбиения, где Δxi = xi − xi−1-длина элементарного отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется
выражение . Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. .В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].
26. Существование первообразной непрерывной функции.
Теорема: любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция
Доказательство:
1) Докажем, что
имеем
по формуле среднего значения: если непрерывна на , то , что
при