17. Обобщения Пуассоновского процесса, дважды стохастический Пуассоновский процесс

Опр.  Процесс X(t) – пуассоновский, если

1) X(0)=0 почти наверное (т.е. P(X(0)=0)=1 )

2) X(t) имеет независимые приращения:

X(t₀), X(t₁)–X(t₀), … , X(t_n)–X(t_n-1) – независимые в совокупности

3) X(t) однородный: X(s+h)–X(s) = X(t+h)–X(t) для любых s, t, s+h, t+h T

4) При >0, h>0, h->0

P(X(h) = 0) = 1- h +o(h)

P(X(h) = 1) = h +o(h)

P(X(h) >= 2) = o(h)

λ - интенсивность п.п.

Обозн. N₁(t) — стандартный Пуассоновский процесс (λ = 1)

Кол-во скачков на отрезке времени имеет распределение вариационного ряда выборки из равномерного распределения (равномерное распределение имеет наибольшую дифференциальную энтропию среди всех распределение на отрезке). Время до скачка имеет показательное распределение (показательное распределение имеет наибольшую энтропию среди всех распределение на [0; +∞)).

P(N*_λ(t)=k) = P(N₁(λt)=k), т.е. N_λ(t) и N₁(λt) стохастически эквивалентны

18. Обобщенный процесс Кокса.

ЦПТ и ЗБЧ для обобщенных процессов Кокса.

X₁, X₂, … — н.о.р.с.в.

EX_i = a, DX_i =

– стандартный Пуассоновский процесс

процесс с неубывающими непрерывными справа траекториями

п.н

_, независимы

Опр.   — дважды стохастический Пуассоновский процесс (процесс Кокса), управляющий процесс

Опр.   — обобщенный процесс Кокса

Далее будем предполагать, что EX_i = 0, DX_i =

Цпт для обобщённых процессов Кокса

Пусть при некотором выборе нормировочных констант выполняется				,
где			— функция распределения строго устойчивого закона.
Тогда

Параметр альфа (характеристическая экспонента, показатель устойчивости) определяет вид распределения, а именно наличие острой вершины и «тяжелых» хвостов. Для строго устойчивой смеси с параметром альфа, в качестве смесителя выступает строго устойчивое распределение с параметром альфа/2.

Так что тяжёлые хвосты обобщённого процесса Кокса обусловлены "плохим поведением" управляющего процесса, тогда как слагаемые могут иметь как угодно лёгкие хвосты.

Збч для обобщённых процессов Кокса

Пусть

Тогда — случайная величина такая, что .

Если предел не случаен, то и не случайно. В формулировке теоремы сходимость слабая ("").

19. Островершинность масштабных смесей нормальных законов

— смесь распределения F(x,y) по y относительно Q(y)

— параметр масштаба

— масштабная смесь.

• _{Y — абсолютно-непрерывная случайная величина}

= ,Y > 0

Плотность

• _{Y — дискретная случайная величина}

=	Плотность =

Если существует конечный 4-й момент, то островершинность определяется коэффициентом эксцесса.

Островершинность характеризует тяжесть "хвостов" распределения (вершина острая — хвосты лёгкие и наоборот); положительные значения параметра æ(Y)-3 соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения (чем острее распределение, тем больше у него коэффициент эксцесса).