Медиана

— квантиль распределения ():

Если непрерывна, то квантиль однозначно определяется из уравнения

Медиана — квантиль порядка ½:

Медиана определена всегда.

Медиана может быть неединственна в дискретном случае:
В этом случае

Медиана — «среднее» значение случайной величины

Мода

• В случае дискретной случайной величины

• В случае абсолютно непрерывной случайной величины с плотностью

Мода всегда определена. Мода — «самое вероятное» значение случайной величины.

Вопрос: Зачем так много мат. моделей? Какая лучше?

Ответ: математическое ожидание может не существовать (р. Коши), мода может не быть единственной (равномерное распределение, примеры многомодальных распределений) и т.д. Поэтому необходимы разные модели.

Вопрос: посчитать квантиль 15-го порядка.

Ответ: он не существует.

3. Математическая модель разброса случайной величины.

Модели:

• — дисперсия

• — стандартное отклонение

• 

• — L₁ метрика (инженерная метрика)

• — median absolute deviation

• [X_1/4 , X_3/4] — Интерквантильный размах, разность x_0.75 − x_0.25. Интерквантильный размах является аналогом дисперсии.

3. Случайные величины. Зависимость событий и случайных величин.

Опр.  События A и B F независимы, если P(AB) = P(A)P(B)

Опр.   независимы в совокупности, если

Опр.   - сл. вел. независимы, если _:

Опр.  Ковариация:

Свойства ковариации:

1. линейна относительно аргумента

2. симметрична

3. не зависит от сдвига аргумента

4. если независимы.

Опр.  Коэффициент корреляции:

Свойства коэффициента корреляции:

1. 

2. 

5. Виды сходимости случайных величин

Виды сходимости:

1. Сходимость почти наверное:

2. Сходимость по вероятности:

3. Сходимость в среднем порядка r:

4. Сходимость по распределению: в точках непрерывности F

5. Слабая сходимость: - непрерывная, ограниченная:

Взаимосвязь между сходимостями

Теорема (Центральная предельная теорема)

Пусть X₁, X₂, X₃… - независимые одинаково распределённые случайные величины (норсв)

Существует мат. ожидание EX_i = а – конечно, дисперсия DXi =

Тогда

равномерно по х.

, где — стандартное нормальное распределение.

Оценка скорости сходимости в ЦПТ

Неравенство Берри-Эссеена:

где С₀ – константа (0.4 < С₀ < 0.7003), M³ = E|X_i - a|³

r(n) — скорость сходимости (порядок убывания остатка),

Для того, чтобы была справедлива ЦПТ, достаточно существования только мат. ожидания. Для выполнения неравенства Берри-Эссеена необходимо существование третьего центрального момента. Если потребовать только , скорость сходимости будет сколь угодно медленная. Если потребовать , скорость сходимости не увеличится.

Пусть — независимые случайные величины с конечными матожиданиями и дисперсиями

Пусть

,

Условие Линдеберга

, где — функция распределения -й случайной величины.

Теорема Линдеберга-Феллера

При выполнении условия Линдеберга и наличия конечных матожиданий и дисперсий существуют пределы:

Второе условие — условие предельной малости (равномерность по ).

Если выполнены неравенства из теоремы Линдеберга-Феллера, выполнено и условие Линдеберга.

Теорема Ляпунова

Если

то справедлива центральная предельная теорема, т.е.